自然界中的图案形成：物理约束与自组织

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

从云朵到动物斑纹，从沙丘到微观海洋生物的壳，模式形成在自然系统中随处可见。尽管这类结构形式惊人地多样且各不相同，但许多都具有相似的特征。本文回顾了自然界中发现的一些常见模式，阐释了这些模式通常如何通过系统中众多组成部分之间简单、局部的相互作用而形成——这是一种物理计算形式，它催生了自组织以及涌现的结构与行为。

当博物学家约瑟夫·班克斯首次踏上苏格兰斯塔法岛，见到芬戈尔洞穴时，他被洞口两侧那似几何形状的棱柱状岩柱所震撼。正如班克斯所言：

与此相比，人类建造的大教堂或宫殿又算得了什么！不过是模型或玩物罢了；与自然造物相比，人类的工程永远显得如此渺小。如今建筑师还能夸耀什么呢！规整性——这唯一让他自以为胜过自然母亲的部分——竟在此处为自然所有，且已在此默默存在了无数岁月。1

此结构在爱尔兰海岸有一对应奇观：安特里姆郡的巨人堤道。在那里，人们同样能见到断裂的火成岩所呈现的异常规整且具几何美感的蜂巢状结构。

当我们构建此类建筑图案时，需要经过周密的规划与施工，每个独立构件皆需经切割塑形并精确就位。从人类技术经验来看，创造图案必然需要图案设计者。然而在芬戈尔洞穴与巨人堤道，自然之力却仿佛暗中协作，在毫无蓝图、预见或设计的情况下，形成了这般规整的图案。这正是自发性模式生成的典型例证。

在更早的年代，自然界中此类规整形态常被视为神明之手的指引。如今我们已然知晓，在生机盎然与无机物质并存的大自然中，那些层出不穷的图案并不需要智能设计的介入。无论是发生反应与扩散的化学试剂、凝聚成团的小颗粒或分子、蔓延的裂纹、风沙吹拂的沙粒，还是流动的液体，这些有序排列的结构都自发产生于众多组成部分之间的相互作用。这类图案被称为自组织形态。对它们的研究构成了复杂系统科学的一个重要维度——这类系统往往展现出"涌现性"行为，仅关注单个元素的特性既无法推演出这些行为，也无法预知其形成。

这种规律性不仅存在于无意识或本能驱动的自然世界，也可能出现在看似受自由意志支配的人类社会体系中。例如，在流动车流中出现的间距均匀的拥堵波，或是经济系统中的准周期性循环。因此，理解自发模式如何形成，成为了一项联结众多不同科学领域的探索——从动物学到断裂力学，从化学动力学到社会学。自然界中的许多模式具有普遍性特征，不受传统自然科学分界、甚至生物与非生物世界分野的局限。相反，自然模式似乎源自相对有限的生成模板，即使那些看似毫无共同之处的系统也是如此。芬戈尔洞穴的六边形石柱可能让我们联想到其他自然界的六边形形态。这些图案是否真有关联？抑或只是外观上的巧合？

首先以系统化方式探讨这个问题的是苏格兰动物学家达西·汤普森。他在1917年出版的著作《生长与形态》中，融合生物学、博物学、数学、物理学和工程学知识，汇集整理了当时关于自然界形态与图案的所有认知。汤普森指出，至少在生物学领域（非生物世界亦常如此），模式形成并非静态产物，而是源于生长过程——万物之所以呈现当前形态，皆因其经历了特定的生成轨迹。

谜题答案在于其形成过程。这道理听来简单，实则不然：桥梁、稻田或芯片的形态由其最终样貌即可“解释”，无需追溯制造过程。汤普森反对达尔文主义对生物形态与图案的适应性解释也沿袭这种思路——斑马条纹或可从伪装优势的角度解释（尽管条纹的实际隐蔽效果至今仍有争议），但这无法说明任何特定斑马在胚胎发育过程中，如何在其皮毛上形成这些色素斑纹。汤普森主张进化生物学必须综合考虑：作用于生物生长过程中的纯粹物理力量（包括化学过程）既施加了限制，也提供了可能性。

如今我们认识到，许多自然图案的共同特征源于其形成规则中存在的数学类比性与等效性——无论这些规则是以描述物质扩散与传输的连续统方程表达，还是通过组分间的局域相互作用呈现。这两种描述方式往往都会引致系统从初始的均匀或随机状态发生对称破缺，从而形成组分在空间和/或时间上的分离。这些规律性往往会被特定条件修正，例如边界约束、缺陷的出现，以及模式转换过程中路径依赖的滞后现象。但究其本质，它们揭示出自组织乃是复杂系统的固有属性。

因此，理解自发模式如何生成已成为一项联结众多学科的科学探索——从动物学到断裂力学，从化学动力学到社会学。

化学图案

对于动物斑纹中显见的图案——达西·汤普森曾注意到但未深入研究——其形成机制可从所谓的化学振荡反应研究中找到解释。在这类反应中，化学试剂混合物会先朝某一方向反应，随后逆转并重新生成原始混合物。最具代表性的案例是20世纪60年代发现的别洛乌索夫-扎博京斯基反应（BZ反应）：由于催化反应的铁离子电荷态发生变化，混合液会在红蓝两色间交替变化。若这种振荡无限持续，系统将违背热力学第二定律。但实际上振荡终会衰减，混合物将趋于平衡态。热力学定律虽不限定化学反应的过程，却决定了其最终稳定态。只有当系统处于非平衡状态时，振荡才会持续。不过，通过持续补充新试剂并移除终产物，系统能无限期维持这种非平衡态。

如果搅拌混合物，颜色变化几乎会同时在各处发生。但若反应在不受扰动的薄层液体中进行——或更理想的是在凝胶中进行，以减缓扩散并抑制流体动力扰动——则不同区域可能会在不同时间发生转换。这不仅会产生斑驳的拼凑效果，更能形成规则的同心圆带与螺旋图案：化学波在介质中扩散开来，犹如投石入水泛开的层层涟漪。当两道波阵面相遇时，它们会相互抵消湮灭。

这种振荡现象源于反应存在两种可能的状态或分支。每个分支都涉及自催化过程：反应产物会促进更多同类产物的生成。这是一种正反馈过程，意味着随着反馈加速反应并消耗反应物，每个分支最终都会耗尽自身。当这种情况发生时，系统便为切换至另一分支做好了准备。

振荡过程依赖于两个基本要素：一是反应物发生反应生成有色产物，二是相关分子通过扩散在液体中移动。系统在红蓝状态间切换的速度，则取决于扩散补充新反应物以替代反应消耗物的速度。因此，这里的图案源于反应与扩散之间的平衡——反应消耗反应物，而扩散补充反应物。这类过程被称为反应-扩散系统。

值得注意的是，图案的形成正是通过这两个对立过程之间的竞争实现的。这是模式形成的普适原理之一：它需要对立倾向之间的平衡。

1952年，艾伦·图灵发现了另一种化学反应-扩散过程，它产生的不是移动的化学波，而是静态图案。图灵提出这一理论的契机是探索受精卵胚胎形成的最初阶段如何产生模式。这是一个对称性破缺的问题：一个由相同细胞构成的、具有球面对称性的球体，将分化出未来形成头部、四肢、脊柱等不同部位的细胞。

图灵提出，这些图案可能由两种在系统中扩散的化学物质（形态发生素或“成形素”）共同作用形成。其中一种被称为激活剂，因其能催化自身生成，即具有自催化特性。另一种形态发生素则是能干扰激活剂这种自我生成的物质，换言之，它是一种抑制剂。图灵证明，当抑制剂在系统中的扩散速度比激活剂更快时，就会形成静态图案——即系统中不同区域的激活剂与抑制剂浓度将出现持续差异。

图灵模型可生成两种特定类型的图案：斑点与条纹。这一预测在20世纪90年代首次通过实验制造出图灵图案时得到了验证。该理论为动物斑纹形成提供了机制解释：在胚胎发育过程中，扩散的形态发生素会在皮肤上留下印记，这些印记或开启色素生成基因，或将其关闭。图灵式模型能够解释鱼类、野生猫科动物及瓢虫等动物斑纹的诸多特征。虽然尚未确定导致这些图案的具体形态发生素，但在哺乳动物毛囊规则排列的类似案例中，相关发生素已被发现。

上图：长颈鹿斑纹中显现出类六边形图案。

中图：微观海洋生物（放射虫）外壳上的六边形网状结构。

下图：振荡型别洛乌索夫-扎博京斯基反应中化学波图案的瞬时状态。

颗粒图案

斑马的条纹或许会让我们联想到风吹沙形成的波纹。有观点认为，沙纹和沙丘的形成也可视为一种涉及局部激活与长程抑制的过程。波纹的出现是一种自我激活或自催化过程：当平坦沙面在风沙吹拂下形成微小凸起时，它便开始比周围区域捕获更多沙粒，从而使凸起逐渐增大。凸起越大，捕获的沙粒就越多。同时，这意味着风中携带的沙粒会减少，因此在现有波纹的下风处形成新波纹的可能性也随之降低——波纹周围存在抑制效应，使得相邻波纹必须保持特定的最小间距。

沙丘的形成也遵循类似机制，但受风动力、局部地形与植被等因素的影响。沙粒可通过这种自组织方式形成多种结构，包括直纹与波状赛夫沙丘、新月形巴克哈恩沙丘，以及多臂星状沙丘等。在火星的颗粒状地表上，重力、大气压力与风速的差异催生了一些地球上未曾出现的新型沙丘形态。

相互作用颗粒系统能形成多样化的图案。例如，在浅层密封真空容器中垂直振动的极薄层球形金属颗粒会形成称为"振荡子"的驻波——颗粒在此过程中持续同步升降。这些波会自组织成规则的条纹阵列、螺旋结构、六边形与方形网格，以及更随机、非定常的类细胞湍流状图案。图案的选择取决于振动频率与振幅，当跨越临界阈值时，图案间会发生突变式切换。

这些图案源于颗粒间的碰撞，碰撞使颗粒实际"接触"彼此，从而可能实现运动同步。仅假设颗粒碰撞时损失少量能量的模型即可复现这些图案。

若此类“颗粒”能够自主移动，并通过相对简单的吸引、排斥与模仿规则相互作用（正如某些动物种群的行为），它们便能呈现鱼类与鸟类集群时展现的协调性群体图案。基于多粒子相互作用涌现行为的简单模型，也可用于解释分支与聚集图案的形成——这类图案既可能如雪花般规整，也可能如河网与城市布局般看似无序。

上图：静态化学图案（图灵图案）的基本形态：斑点与条纹。

中图及下图：基于图灵图案的原理模型已被提出，用以解释野生猫科动物、鱼类和瓢虫身上的斑纹形成。

用图案计算

尽管人们抱有相反的期许，但自然界并不存在普遍适用的图案形成理论。不过，我们已能辨识出诸多共同原理，例如某些基本形态的普适性（六边形、条纹、层级分支、分形结构、螺旋）、非平衡生长过程的重要性、对立驱动力之间的动态平衡，以及引发图案整体性突变的临界阈值的存在。芬戈尔洞穴与巨人堤道的拟六边形裂纹，似乎是释放熔岩冷却硬化收缩过程中积聚应力的近乎最优解：这些裂纹在凝固物质中向下延伸时，通过迭代方式从初始随机分布的裂纹中遴选出有序的能量最低状态——其作用机制与最终形态，竟与泡沫结构有着异曲同工之妙。

一般而言，自组织图案可被视为物理粒子通过相互作用执行的一种计算过程。这一点在基于元胞自动机的模型中体现得尤为明显：这种模型将离散元素（元胞）排列于规则网格，通过依赖相邻元胞状态的简单局域规则进行互动。元胞自动机最初由约翰·冯·诺依曼与斯坦尼斯拉夫·乌拉姆在20世纪50年代提出，其理论背景是广义计算理论——每个元胞可视为以其物理状态编码信息的“记忆”单元。冯·诺依曼关注此类自动机能否复制信息模式，进而演化出更复杂的计算状态，最终呈现某种“思考”形态。元胞自动机生成复杂图案的能力——这些图案能在网格中复制或移动——在《生命游戏》中得到展现，这是数学家约翰·霍顿·康威于20世纪60年代设计的特定元胞自动机模型。沃尔弗拉姆对元胞自动机与计算及自组织图案的关联性进行了深入研究。本文所述图案（包括化学波）皆可通过元胞自动机模型而非化学扩散与动力学的连续方程复现。这揭示了自发图案生成实为多组分复杂系统的普遍属性，其通过通常相对简单的局域规则相互作用而形成。

在生命世界中，模式形成似乎既限制了适应性变化，又提供了新的适应机遇——换言之，它与达尔文进化既并行运作，有时又相互呼应。例如在材料科学、建筑学以及结构动态复杂的化学系统制造领域，自发模式形成所蕴含的技术与美学潜能，其探索之路才刚刚开启。

上图：在火星上，风速、重力和大气压力的差异可能造就新的沙丘形态。

下图：颗粒物质是模式形成的多产之源。沙纹的蜿蜒形态看似与斑马条纹如出一辙。沙丘则是更大尺度上的类似结构。

垂直振动的颗粒会自组织形成孤立波（振荡子）或包括扩展驻波在内的多种图案。

参考文献

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青山 不改，绿水长流，在下告退。

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