中考数学：两点间距离最小值计算应用解析

中考数学：两点间距离最小值计算应用解析

主要内容:

█已知两点其中一点含有参数情形:例题：已知平面直角坐标系上有两点，点U(8,23)与点T(q,q+23)，则UT的最小值为多少？

█已知两点都含有参数情形:例题：已知平面直角坐标系内有两点，点E(6,b)与点F(b+3,65)，则EF的最小值为多少？

█已知两点过抛物线情形:例题：已知点A(b,y₁)与点B(b+14,y₂)在抛物线y=x²/4的图像上，且-9≤b≤9，则线段AB长的最大值、最小值分别是多少？

█已知两点过反比例函数情形:例题：在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数y=34/x的图像交于点G，H两点，则直线GH长的最小值多少？

详细过程：

█已知两点其中一点含有参数情形

例题1：已知平面直角坐标系上有两点，点U(8,23)与点T(q,q+23)，则UT的最小值为多少？

解：本例子中，U,T两个点中，其中一个点含有未知数，

根据两点间公式，有：

UT=√[(q-8)²+(q+23-23)²],

=√[(q-8)²+q²],

=√[2(q-4)²+32],

可知当q=4时，UT有最小值，即：

UTmin=√(0+32)=4√2.

█已知两点都含有参数情形

例题2：已知平面直角坐标系内有两点，点E(6,b)与点F(b+3,65)，则EF的最小值为多少？

解：根据两点间公式，有：

EF=√[(6-b-3)²+(b-65)²],

=√[(b+3)²+( b-65)²],

=√[2(b-31)²+2312],

同理，根式内部看成b的一元二次方程，可知当b=31时，EF有最小值，此时最小值为：

EF=√(0+2312)=34√2.

█已知两点过抛物线情形

例题3：已知点A(b,y₁)与点B(b+14,y₂)在抛物线y= x²/4的图像上，且-9≤b≤9，则线段AB长的最大值、最小值分别是多少？

解：根据两点间公式，有：

AB=√[(b+14-b)²+( y₂-y₁)²],

=√[(14²+( y₂-y₁)²].

由于两点在抛物线上，则：

y₂-y₁=(1/4)[(b+14)²-b²]=(1/4) (2*14b+14²),

此时AB=√[14²+(1/4)²(2*14b+14²)²]

=14√[1+(1/4)²(2b+14)²],

=(7/2)√[4²+(2b+14)²]，则有：

当2b=-14时，有ABmin=14.

当b=9时，有：

ABmax=(7/2)√[4²+(2*9+14)²]

=14√65.

█已知两点过反比例函数情形

例题4：在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数y=34/x的图像交于点G，H两点，则直线GH长的最小值多少？

解：设G (t, 34/t)，根据交点的对称性可知，H (-t,-34/t)，

由两点距离公式有：

GH=√[(t+t)²+(34/t+34/t)²]

=√(4*t²+4*34²/t²)

=2√(t²+34²/t²)

≥2√(2*34)=4√17.

知识点：本题反比例函数图像在第一、三象限，过原点的直线为正比例函数，则与反比例函数的交点必在第一象限和第三象限，且这两个点的横、纵坐标分别互为相反数。