1月18日周日开讲：见大象之形，致无穷之用|《拓扑学的思维革命：从空间直觉到系统科学》第八课

导语

在前几讲中，我们游历了拓扑学的深刻理论与众多应用，由此可见拓扑学不仅存在于抽象的数学世界。这一讲将更加彻底地重塑你的观念：运动轨迹、时空和内部自由度空间是怎样弯曲的？DNA如何在细胞中缠绕又解开？为什么物理世界中会存在“拓扑相变”和“物质拓扑态”？分析数据时，怎样用“拓扑形状”识别复杂结构？拓扑量子计算又是怎样利用“内蕴形”、其代数不变量及相互关系处理信息的？……这一讲将继续带大家打破数学、生物、物理、计算与认知的边界，进一步理解“拓扑”如何成为连接理论与现实的桥梁。

集智学园联合北京大学博士金威老师开设，以“结构不变性”为核心线索，贯通数学思想史与现代系统科学。课程已于11月23日开启，欢迎加入课程群交流。

主题：拓扑思想在理论与现实中的应用

课程简介

目标： 进一步认识拓扑思想在自然与人工系统中的应用，理解“内蕴形及其关系”与“系统稳定性”及“系统的状态与变化”的关系。

几何中刻画“弯曲”的曲率在各尺度中广泛存在：在宏观世界的工程与力学系统中，曲率出现在运动学中；在宇观层次，它刻画时空，是广义相对论的核心要素；在微观尺度上，粒子间的规范场与相互作用由纤维丛的曲率来刻画。而曲率的整体积分又被拓扑性质所决定。由此，拓扑、几何与物理在“整体性”“局部-整体关系”和“对偶性”等核心概念下深刻地统一起来。

在生命科学中，DNA 的复制、转录与重组是高度受限的拓扑过程：双螺旋如何在狭小的细胞空间中缠绕、打结，又被精准地解开？纽结论为理解这些过程提供了不可替代的语言。在凝聚态物理中，人们发现某些物质的性质并非由局部对称性，而是由系统的整体拓扑结构所决定，“拓扑相变”与“拓扑物态”由此成为理解新型材料与量子现象的核心概念。

当今时代数据规模与系统复杂度不断提升，拓扑思想也进入了计算与信息科学领域。拓扑数据分析（TDA）利用同调与持续同调，从高维、噪声数据中提取稳定的“形状特征”，为人工智能、模式识别与复杂系统分析等提供了新的工具。在量子信息与计算领域，拓扑量子计算则试图利用拓扑不变量的稳定性，对抗环境扰动与退相干问题，将“形之不变”转化为信息处理的可靠来源。

本讲将以一系列跨学科实例为线索，展示拓扑如何成为连接数学理论、自然现象与工程实践的共同语言。通过这些案例，学生将体会到：面对具体细节的汪洋大海，，我们可以用拓扑思维抓住系统整体的结构性本质；也具备了理解复杂系统稳定性、状态演化与认知结构的独特而深刻的视角。本课程亦将在此处开始回望全程，反思拓扑思维在科学与哲学层面的意义。

课程大纲

• 曲率及其应用（续）

• 纽结论与DNA的拓扑异构（酶）

• 拓扑数据分析（TDA）与人工智能

• 拓扑相与凝聚态物理

• 拓扑量子计算、量子拓扑、范畴论与思维科学中的结构不变性

• 互动讨论：拓扑思维的数学、科学与哲学意义

关键词

关键词：纽结理论、DNA、拓扑数据分析、拓扑相变、拓扑量子计算

课程信息

课程主题：见大象之形，致无穷之用——拓扑思想在理论与现实中的应用

课程时间：1月18日（周日）晚19:00-21:00

课程形式：腾讯会议（会议信息见群内通知）；集智俱乐部视频号、b站同步直播，集智学园网站录播（3个工作日内上线）

课程主讲人

金威，北京大学基础数学博士，博士后。主要研究方向为拓扑学和数学物理。现从事人工智能的基础理论和算法研发，并致力于数学和系统科学方面的教育/科研和科普活动。《基本粒子：数学、物理学和哲学》一书中文版译者，《返朴》公众号作者。研究兴趣：属性论和属性数学、拓扑学和数学物理、系统科学和复杂网络、中医等。

课程适用对象

1. 理工科领域研究者及高年级学生：适合具备基础数学背景（微积分、线性代数、复变函数、常微分方程）的理工科高年级本科生、研究生及科研人员。尤其适合关注复杂系统、非线性动力学、统计物理、信息科学等方向，或希望将数学思想应用于物理、工程、生命与智能/认知系统的学习者。

2. 喜爱探索和创新学习者：面向对抽象思维、系统建模与跨学科分析有兴趣的学生与研究者。鼓励具备问题意识、善于逻辑推理与思维开放的学习者，通过拓扑学培养结构化与整体化的科学思维。

报名须知

1. 课程形式：腾讯会议，前两课线上同步直播，集智学园网站录播，部分课程设置线下课。

2. 课程周期：2025年11月23日-2026年1月，线上课程每周日19：00-21：00进行。

3. 课程定价：前两节课程免费，全部课程原价599

付费流程

https://campus.swarma.org/course/5647?from=wechat

可开发票

2. 课程页面添加学员登记表，添加助教微信入群；

3. 课程可开发票。

课程群内讨论交流

拓扑学课程：从空间直觉到系统科学

你是否曾思考过：为什么咖啡杯在数学上可以变成甜甜圈？为什么混沌系统中会出现周期轨、可约化结构和“奇怪吸引子”模式？为什么神经网络、量子物理甚至心理结构，都可以从“拓扑”角度理解？

拓扑学不仅是数学的抽象分支，更提供了系统的思维方式，让我们理解连续性、结构不变性乃至复杂系统的整体规律。从欧拉七桥问题到DNA的缠结，从量子场论到思维科学与脑科学，拓扑学思想正在各学科中普遍而深刻地重塑着我们的认知方式。

集智学园联合北京大学博士金威老师开设，课程于11月23日开启，欢迎感兴趣的读者加入。

详情请见：