保非负性的卷积核：在闭凸域中的随机Volterra方程及其逼近中的应用

保非负性的卷积核：在闭凸域中的随机Volterra方程及其逼近中的应用

Nonnegativity preserving convolution kernels. Application to Stochastic Volterra Equations in closed convex domains and their approximation

https://www.sciencedirect.com/journal/stochastic-processes-and-their-applications/vol/181/suppl/C?page-size=100&page=1

摘　要
本文定义并研究了一类保持非负性的一维卷积核。当一个过程的历史动态通过卷积核进行积分时（如在随机Volterra方程中，或在Hawkes过程的跳跃强度中），该性质可保证积分结果的非负性。我们给出了这类核的若干刻画，并特别证明了完全单调核具有非负性保持性质。随后，我们将这些结果应用于分析闭凸集在随机Volterra方程下的随机不变性，并在一维情形下得到了一个比较结果。最后，当核为衰减指数函数的正线性组合时，我们提出了一种弱误差的二阶逼近格式，在适当假设下，该格式始终保持在闭凸域内。我们将这些结果应用于粗糙Heston模型，并给出了数值示例。

关键词：完全单调核 随机Volterra方程 Volterra方程 具有抑制作用的Hawkes过程
粗糙Heston模型

1. 引言

卷积核被广泛应用于建模具有随时间衰减记忆效应的现象。虽然远非详尽，我们在此提及在力学 [1,2]、生物学 [3–5]、社会学 [6,7] 或金融 [8–11] 中的应用。相关模型中使用的主要随机过程家族是Hawkes过程和随机Volterra方程，其中卷积核用于整合过去动态。对于Hawkes过程，这种对过去的积分产生跳跃强度，因此必须是非负的。对于随机Volterra方程，在某些应用中了解它们是否为非负或更一般地是否保持在某个区域内也非常重要。

然后我们将该技术应用于提出一种用于Abi Jaber和El Euch [12] 引入的多因子Heston模型的弱二阶格式，作为粗糙Heston模型的代理。这是本工作的原始动机。具体而言，结合我们的通用方法与Alfonsi [22] 提出的Cox-Ingersoll-Ross（CIR）和Heston模型的二阶格式，我们为这些模型的多因子版本提出了新的逼近方案。数值实验表明，我们的方案具有二阶弱收敛性。我们还将我们的方案与Richard等人 [23] 以及Alfonsi和Kebaier [24] 为粗糙Heston模型期权定价开发的Euler方案进行比较，结果显示我们的方案在偏差和计算时间方面优于这些方案。

本文结构如下：第2节 专注于保非负性核函数的分析。我们首先给出定义，并获得一个不假设任何正则性的初步刻画。接着，我们聚焦于完全单调核，并证明它们保非负性。最后，我们研究第一类非负非增预解算子的存在性与保非负性性质之间的关系。第3节 专用于随机不变性。第一部分展示SVE的逼近，并利用保非负性性质证明其停留在某凸域内。我们估计强误差，然后陈述通过取时间步长趋于零所得的主要随机不变性结果。第4节 开发具有二阶弱误差的SVE逼近格式，并在合适假设下保证其停留在闭凸域内。它首先回顾SDE弱逼近的一般结果，然后提出SVE的二阶弱误差格式。最后，它开发多因子CIR和Heston模型的二阶格式，并在此框架下给出一些数值结果。

1. 保非负性卷积核

2.1. 定义与刻画

蕴含关系（2.4）等价于该下确界的非负性，而这正是我们希望刻画的性质。我们注意到，约束集是线性的且呈三角形式，其对角线元素非零（因为 G ( 0 ) > 0 ）。因此，我们可以将待优化的线性函数表示为这些约束的线性组合：

2.2 完全单调核保持非负性

2.3 通过第一类预解算子进行刻画

Abi Jaber 等人 [13, 定理3.6] 最近已证明，具有非增预解算子的性质可用于确保某些随机Volterra方程的非负性。然而，该性质仅表现为保证非负性的充分条件。根据下一个定理，我们将看到，对于非增核函数而言，这一性质实际上是必要且充分的条件。

1. 闭凸域上的随机Volterra方程

   
   3.1. 通过分裂法对随机Volterra方程的逼近