Tony Phillips教授的数学读报评论2025-10

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本月主题：

一、几何学：在ChatGPT上尝试苏格拉底式提问方法

二、遍历旋转空间——“回家”

作者：Tony Phillips（石溪大学教授）2025-12-16

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2025-12-19

一、几何学：在ChatGPT上尝试苏格拉底式提问方法

ChatGPT能生成知识，还是仅仅是回忆知识？为了探讨这个问题，纳达夫·马尔科（Nadav Marco，耶路撒冷希伯来大学）和安德烈亚斯·斯蒂利亚尼德斯（Andreas Stylianides，剑桥大学）探讨了关于人类学习的古老讨论。

在柏拉图的对话《美诺篇》

Meno

中，有人提问：“是的，苏格拉底；但你说我们不学习，所谓学习只是回忆过程，这是什么意思？”接下来的段落通常被称为“苏格拉底与奴隶男孩”，伟人用引导性问题“提醒”年轻人他已经知道如何复制一个正方形。（该段落的完整翻译为 https://www.math.mcgill.ca/rags/JAC/124/meno.pdf ，感谢 R.A.G. Seely https://www.math.mcgill.ca/rags/JAC/124-193a.html ）

在近期《国际科学技术数学教育杂志》

International Journal of Mathematical Education in Science and Technology

的一篇文章中 https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/0020739X.2025.2543817 ，Marco 和 Stylianides 向ChatGPT展示了苏格拉底的例子，并分析其回应，寻找“知识是记忆的回忆”与“知识持续从经验中生成”的证据。该相关研究工作被Live Science报道 https://www.livescience.com/technology/artificial-intelligence/scientists-ask-chatgpt-to-solve-a-math-problem-from-more-than-2-000-years-ago-how-it-answered-it-surprised-them

左图：一个正方形被分成四个小正方形，左下角的小正方形被突出显示。

右图：同样的图像，但现在添加了一个红色正方形，其边长等于那四个小正方形的对角线长度。

“正方形面积翻倍”问题

给定一个蓝色正方形（左边），如何构造一个面积正好是其两倍的红色正方形？

图源 https://doi.org/10.1080/0020739X.2025.2543817

作者首先在ChatGPT中重复苏格拉底的提问：“你知道什么是正方形吗？”等等。（互动全文记录 https://chatgpt.com/share/3afedd9f-9406-4cdf-b52c-f8a91e4799e8 ）面对正方形面积翻倍问题，ChatGPT建议将正方形的边长乘以√2。这个答案大概是从训练中获得的信息回忆出来的。作者要求采用更精确的方法，因为该数字只能被近似知晓。ChatGPT回答说，“以全新的视角反思你的挑战”，它找到了一个确切的方法（如上图所示），“应该更早就强调过了”。于是另一个答案从回忆中召回，虽然回忆需要提示词。

为了探究ChatGPT在此练习中是否获得了新知识，作者随后要求它在保持边长比例的同时，将一个2×3的矩形面积翻倍。ChatGPT最初给出代数答案（两边均乘以√2）。当被问及“你那个带对角线的漂亮解法”是否可以适应这个场景时，ChatGPT错误地将对角线解读为必然指的是矩形的对角线（但这并不成立），并且似乎坚持代数缩放是唯一“实用的方法”。

作者指出，这种反应更像是知识的生成而非回忆，因为这个错误的想法不太可能从记忆中被提取出来。在我看来，ChatGPT无法在其训练数据中找到问题的几何解，是知识作为回忆的另一个（否定）例子。

一个蓝色矩形，其左侧和顶部边缘分别延伸出一些正方形。图中显示了这些正方形的对角线。通过移动其中一条对角线，使其与另一条对角线垂直相交，我们可以得到一个新的矩形。

一种几何构造，用于将矩形面积翻倍。

图源：Marco 和 Stylianides

作者随后教ChatGPT几何解，如上面的“无字证明”图示。ChatGPT以热烈的赞赏回应（“你利用正方形特性来解决矩形挑战的洞察力展现了深刻的理解力和创造力”），随后对话转向了其他翻倍问题。

当被要求几何解法时，ChatGPT解释如何用提问者对矩形使用的相同技巧将等边三角形的面积翻倍。这显然是“经验生成知识”的例子，因为ChatGPT最初不知道这个策略，但后来学会了；作者在摘要中指出，“ChatGPT的回答反映了这两种类型的知识。”

我更感兴趣的是他们观察到ChatGPT表现出“过度概括”：它找到了一个对正方形有效的对角方向构造，试图重复矩形的策略。从儿童语法错误中我们就熟悉过度概括，比如“bringed”。这两者之间有联系吗？James Somers 在《纽约客》

The New Yorker

文章 https://www.newyorker.com/magazine/2025/11/10/the-case-that-ai-is-thinking 中提出了利用AI人工智能研究可能推动理解人类思维过程进展的可能性。他引用了神经科学家 Doris Tsao（加州大学伯克利分校）的话，她声称自己从ChatGPT获得的最深刻见解是“我认为它彻底揭开了思维的神秘面纱”。

二、遍历旋转空间——“回家”

通过翻倍和缩放，几乎任何连续的一连串旋转都可以变成一个循环回路。这项证明正是让-皮埃尔·埃克曼（Jean-Pierre Eckmann，日内瓦大学）和茨维·特鲁斯蒂（Tsvi Tlusty，韩国蔚山国立科学技术研究院）在10月1日《物理评论快报》

Physical Review Letters

上发表的 https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/xk8y-hycn 。《新科学家》

New Scientist

于10月16日报道了这项研究 https://www.newscientist.com/article/2499647-mathematicians-have-found-a-hidden-reset-button-for-undoing-rotation/ 。

这里，我将重点介绍这些游走对应于在xy-平面上滚动的实心立体的特殊情况。假设有一个半径为 1 的球，从原点开始，并开始向x轴正方向滚动。它在该方向滚动π/2距离，不滑动也不旋转，然后再向y轴的负方向滚动π/4距离。这样的路径对应于球面旋转空间中的路径：在这种情况下，首先绕y轴旋转球面π/2的角度，然后绕x轴向下旋转π/4的角度。（对于更一般的曲线，旋转轴会因点而异。）

平面上的一条路径从O开始，给出球面旋转空间中的路径。这里球面首先绕与y轴平行的轴旋转角度π/2，然后绕与x轴平行的轴旋转角度-π/4。注意，切点描绘出球面上向上提升的曲线。

图源：Tony Phillips

在旋转空间中，一条给定的路径能否重新缩放，使球最终回到原来的方向？这就是作者所说的“回家”。

切点描绘出另一条路径，这条路径位于球面上。就这条提升路径而言，“回家”受两个参数约束。首先，设p为在游走开始时与平面相切的球面上的一点。其次，设v为球面在p处的切向量，对应球开始滚动的方向。（在上述例子中，v初始指向x轴。）如果游走成功返回，那么在结束时球面再次在点p与平面相切，此时v与初始方向平行。

作者认为，虽然仅仅在旋转空间中重新缩放路径几乎永远无法满足这两个要求，但几乎任何路径都可以被翻倍以及重新缩放从而满足它们。为了解释这一点，他们依赖平行运输（parallel transport）的几何学，这是一种将平行性推广到曲面的方法。

平行运输（parallel transport）

在平面上，我们知道如何判断位于两个位置p和q的向量是否平行：我们只需将它们滑动在一起，检查它们是否匹配。那么曲面上两个不同点的向量呢？这一问题部分受物理学启发，20世纪初由意大利几何学家图利奥·莱维-奇维塔（Tullio Levi-Civita）解决。

解决方案是沿曲线进行平行运输。给定从p到q的任意分段光滑曲线c，以及在p处的任意切向量v，存在一个微分方程，可以在q点生成一个新的、同样长度的向量，即“v沿c平行运输”。

平行运输具有直观的吸引力。在平面上，v在任意曲线上的平行运输在通常意义上都是平行于v。 此外，如果c是p和q之间的最短曲线（测地线geodesic），则v和c之间的夹角在运输过程中保持不变；在二维中，这完全确定了沿测地线的平行运输。

事实证明（这里有最近的参考文献 https://arxiv.org/abs/2510.10247 ）对于曲面，有一种简单的实现平行运输的方法。事情是这样的。假设我们有一个曲面S，在S上有一条曲线c，起点为p，终点为q，以及一个在点p与S相切的向量v。我们要沿着曲线c运输v。

将曲面设为在点p处与平面相切（一个非凸曲面可能必须与这个平面相交；这不是问题）。则v与平面中的一个向量重合；我们就叫它v'。现在滚动曲面，不滑动也不旋转，使切点跟随c。过程结束时，切点为q，在点q处S的切空间中的向量将再次与平面上的向量重合。平面上与v'平行的向量将是v沿c的平行运输。（下文图示就是一个例子）

这种平行运输的表述呼应了 Eckmann、Tlusty 等人关于球面相对于平面初始和最终方向的过程。这意味着作者可以利用平行运输与曲率之间的显著关系：如果你逆时针绕环运输一个向量，最终结果将旋转一个等于环路所包围的（高斯）全曲率的角度。因此，绕曲线滚动时方向的变化等于该曲线所包围的总曲率。

这里有一个单位球面的例子，使用了与八分球（octant，球八分之一，半球的四分之一）接壤的曲线。绕其边界的平行运输尤其简单，因为其三边——大圆弧——是测地线。此外，单位球面具有高斯曲率1和面积4π，因此八分球所包围的总曲率为π/2，即球面积的1/8。

一个球面，其中包含一个八分球，其顶点分别为p₁、p₂和p₃。在平面上，该八分球的边界形成三条直角边，其顶点分别为 q₁、q₂、q₃ 和 q₄。

单位球沿路径Oq₂q₃q₄滚动。这条路径会上升到一个球面三角形p₁p₂p₃，一个八分球。在最后，相对于平面的方向旋转了π/2。用平行运输的术语，向量v被沿着p₁p₂p₃运输，旋转了π/2 。而π/2正是八分球所包围的总曲率。

图源：Tony Phillips

回到旋转空间

这意味着如果一条曲线包围了球面的一半，那么绕曲线的v平行运输旋转了2π 。也就是说，v最终会回到和开始时一样的位置和方向。所以如果一条路径可以被翻倍并重新缩放，形成包围半球的环路，它总能“回家”。这就是Eckmann 和Tlusty的处理方式。他们操作被抬升的路径（球面上方），将新的路径滚出平面，并如上所述将其解释为旋转空间中的路径。

翻倍（示意图）。如果提升曲线的端点不同，作者会在它们之间的球面上绘制测地线（大圆弧）。他们确定该弧的中点，并围绕该点旋转曲线的副本180°，形成闭合曲线。

图源：Tony Phillips

重新缩放（示意图）。当起点和终点的球面方向不一致时，重新缩放曲线，使封闭面积正好为球面面积的一半。那么平行运输的几何意味着定向向量将恰好旋转2π，即起始和结束的定向将重合。

图源：Tony Phillips

程序结束（示意图）。球面上翻倍且重新缩放的路径展开到平面上。注意球面的初始切点和最终切点相同，且方向平行：“回家”了。

图源：Tony Phillips

作者的构造回答了一个关于立体沿着周期性路径滚动的问题。一个简单的例子是六边形圆锥球（hexasphericon）https://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-sphericon7

图源：mattercollection.com

圆柱形和圆锥形曲面对接恰到好处，使得位置得当，它能以有趣的方式顺着倾斜面滚动。（关于早期的例子，圆锥球sphericon，请参见伊恩·斯图尔特Ian Stewart在1999年10月《科学美国人》杂志上的专栏文章 https://www.scientificamerican.com/article/cone-with-a-twist/ ）

a.六边形圆锥球的构造。

一个六边形绕其轴旋转，得到的立体被劈成两半。两半在旋转60°后连接。

b.六边形圆锥球会沿着一个周期性路径沿倾斜面滚动。

蓝色表示旋转空间中对应曲线的一个周期。

c. 将曲线抬升至球面时，是闭合的，并将曲面分为两个面积相等的区域。

图源：Tony Phillips

我们可以将六边形圆锥球的圆柱形/圆锥形曲面结构（决定其滚动运动）抽象为圆球上的曲线；在平面上，滚动切点描绘出一条曲线并进行平移（上图中的虚线）。这是一个无限延长的周期性路径。在早期的一篇论文中，作者曾询问平面中还有哪些路径可以通过滚动立体生成并周期性延伸。他们的研究暗示了，经过翻倍和重新缩放后，平面上几乎任何路径都可行。

参考资料

https://mathvoices.ams.org/mathmedia/tonys-take-october-2025/

https://www.math.mcgill.ca/rags/JAC/124/meno.pdf

https://www.math.mcgill.ca/rags/JAC/124-193a.html

https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/0020739X.2025.2543817

https://www.livescience.com/technology/artificial-intelligence/scientists-ask-chatgpt-to-solve-a-math-problem-from-more-than-2-000-years-ago-how-it-answered-it-surprised-them

https://doi.org/10.1080/0020739X.2025.2543817

https://chatgpt.com/share/3afedd9f-9406-4cdf-b52c-f8a91e4799e8

https://www.newyorker.com/magazine/2025/11/10/the-case-that-ai-is-thinking

https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/xk8y-hycn

https://www.newscientist.com/article/2499647-mathematicians-have-found-a-hidden-reset-button-for-undoing-rotation/

https://arxiv.org/abs/2510.10247

https://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-sphericon7

https://www.scientificamerican.com/article/cone-with-a-twist/

https://mathworld.wolfram.com/Sphericon.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Sphericon

https://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-sphericon1

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