希尔伯特第十问题与计算的局限性——HLF海德堡桂冠论坛

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数学中存在大量的不可判定性问题，即使AI加持下也难以突破计算的本质极限，例如希尔伯特第十问题，且听本届HLF海德堡桂冠论坛上数学家们的见解。

作者：Benjamin Skuse（HLF海德堡桂冠论坛科学记者）2025-11-26

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2025-11-27

数学或许可以改名为冰川科学。125年前，备受尊敬的德国数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）列出了他认为值得数学界在未来一个世纪集中精力解决的23个问题，但至今只有10个问题被普遍认为已经解决。

1907年的大卫·希尔伯特

图源：公共领域 JSTOR

在这些已解决的问题中，最有趣的一个，尤其是在第十二届海德堡桂冠论坛（HLF）的主要讨论议题背景下，是希尔伯特的第十个问题，希尔伯特大致是这样表述的：

给定一个具有任意数量未知量和有理整数系数的丢番图方程，设计一个涉及有限次运算的过程来确定该方程是否有有理整数解。

简单来说，希尔伯特本人并没有使用如下方法：

设计一个算法，判断给定的整系数多项式方程 p(x₁,...,xn)=0 是否有整数解 x₁,...,xn∈ℤ。

更简单地说，希尔伯特想知道是否存在一种普遍的方法，可以判断一个具有整数系数的多项式方程是否总是有整数解；例如，是否存在某种基本规律，使得 3x+6y=18（有多个解，例如x=4, y=1）与 2x+10y=17（无解）可以区分开来？

计算机科学来帮忙

直到20世纪五六十年代计算机科学发展成熟，能够为数论提供帮助之后，这个问题才取得进展。美国数学家和计算机科学家马丁·戴维斯（Martin Davis）是第一个取得突破性进展的人。1950年代初，他提出一个集合是丢番图集的当且仅当它是递归可枚举的。

马丁·戴维斯，摄于1996年

图源：George Bergman CC-BY-SA-4.0

这里，“丢番图集”（Diophantine set）是指可以用丢番图方程或方程组定义的整数集合；而“递归可枚举”（recursively enumerable）则意味着可列举。重要的是，递归可枚举集合是描述算法的另一种方式；或者更准确地说，它是算法在无限时间内可以列举的输出或元素的集合。

大约在戴维斯提出这一普遍结果的同时，美国数学家朱莉娅·罗宾逊（Julia Robinson）从1948年开始研究希尔伯特第十问题，她正在研究丢番图关系的特殊情况，并建立了一个猜想，这个猜想后来被称为朱莉娅·罗宾逊猜想，或简称JR（Julia Robinson hypothesis）。

Robinson的工作重点是构建满足快速增长性质的丢番图关系：

• J(a,b) 蕴含 a

• 对于每个正整数 k，存在 a 和 b，使得 J(a,b) 且 a>bᵏ

并证明，如果这种关系存在（正如她所怀疑的那样），那么指数关系也是丢番图关系。

1975年的朱莉娅·罗宾逊（Julia Robinson）

图源：George Bergman CC-BY-SA-4.0

时间快进将近十年，马丁·戴维斯和他的合作者、美国分析哲学家希拉里·普特南（Hilary Putnam）与罗宾逊——她后来成为第一位当选美国国家科学院院士的女性数学家，以及第一位AMS美国数学会女主席——携手取得了另一项重大突破。1961年，他们发表了一篇论文，揭示了可列举集和指数丢番图集合本质上是同一概念。

如果JR猜想最终被证明是正确的，也就是说幂运算是丢番图的，那么这篇新论文就意味着可列举集合也是丢番图的，因此希尔伯特第十问题将无法解决。可惜的是，证明JR定理非常棘手。

生日许愿成真

“我们家有个习俗，就是每个家庭成员过生日的时候都要聚在一起，”罗宾逊在1990年出版的《更多数学人》

More Mathematical People

罗宾逊的愿望在1970年实现了。俄罗斯数学家尤里·马蒂亚谢维奇（Yuri Matiyasevich）同样痴迷于希尔伯特第十问题。1969年，他受邀审阅罗宾逊的一篇论文，罗宾逊在论文中提出了一个关于著名的丢番图方程（称为
佩尔Pell方程，x²–ny²=1，其中 n 是一个非平方的正整数）的解序列周期性的新想法。

这项工作启发他将这一思想应用于另一个数列：斐波那契数列（0,1,1,2,3,5,8,… 满足x_{n+2}=x_{n+1}+x_n）。当他这样做时，一切都迎刃而解了。通过证明斐波那契数列是丢番图数列，他进而证明了 JR 定理的正确性、可列举集合是丢番图集，以及希尔伯特第十问题是无解的。

尤里·马蒂亚塞维奇 (Yuri Matiyasevich)，摄于1969年

图源：Yuri Matiyasevich CC-BY-3.0

你可能会问，希尔伯特第十问题的不可判定性——这个问题早在55年前就已解决——与第十二届海德堡桂冠论坛的热门话题有何关联？事实上，在讲座和茶歇期间，与会者花费了大量时间探讨诸如以下问题：随着AI人工智能的进步，计算机和人类数学家的角色究竟会发生怎样的变化？以及究竟有多少数学问题可以由机器解决？

证明一个容易理解的数学难题——确定每个限制在整数范围内的丢番图方程是否有解——无法通过机械方法解决，这是一个生动的例子，表明了计算机和人工智能在数学方面的局限性。

但这也很令人费解。如果允许丢番图方程有复数解而不仅仅是整数解，那么希尔伯特第十问题实际上就变得非常简单，并且总能用通用算法求解，即使整数可以表示为复数；整数是复数的子集！那么，是否也存在其他数集，使得希尔伯特第十问题无解呢？

超越整数

曼朱尔·巴尔加瓦（Manjul Bhargava，2014年菲尔兹奖得主）原计划在今年的论坛上就此问题提出新的见解。可惜他最终未能出席，因为最近他和他的合作者在 arXiv 上发表了一篇预印本 https://arxiv.org/abs/2501.18774 ，详细介绍了他们发现的这类特殊集合之一； 彼得·科伊曼斯（Peter Koymans）和卡洛·帕加诺（Carlo Pagano）https://arxiv.org/abs/2412.01768 几乎在同一时间也独立发现了这类集合。

Manjul Bhargava

2014年第二届海德堡桂冠论坛期间，曼朱尔·巴尔加瓦访问一所高中。

© HLFF / Flemming

两支团队使用完全不同的方法，都证明了希尔伯特第十问题对于任何整数环都是无解的。数域 K 的整数环ᴋ 是包含于数域 K 内的所有整数的集合，而数域 K 是有理数域的有限扩张。关键在于，ᴋ 的大小始终等于或大于普通整数集合，并且通常包含无穷多个不在普通整数集合中的数。这一结果使得机器数学家（未来的超人人工智能数学家 https://youtu.be/q9MJWfo3DCE?si=Ni7ltzbb-HXu6ArE ）的潜在解空间略微缩小了一些。

下一个挑战被广泛认为是数论中不可判定性领域最大的未解问题之一：证明希尔伯特关于有理数域ℚ的第十问题是否也是不可解的。

无论以何种方式解决这个问题，都将意义深远。它要么意味着对于有理多项式方程，我们所能确定的内容存在固有的算法限制，这将进一步限制机器求解数学问题的能力；要么意味着存在一种算法可以求解所有有理丢番图方程。与此同时，它还将使数论学家更接近于理解数学不可判定性的根本根源。

无论如何，寻求答案无疑将引入全新的框架和技术来研究有理解，从而开启计算理论和数论探索的新时代。

参考资料

https://scilogs.spektrum.de/hlf/hilberts-10th-problem-and-the-limits-of-computation/

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Extras/Robinson_Hilbert_10th/

https://arxiv.org/abs/2501.18774

https://arxiv.org/abs/2412.01768

https://youtu.be/q9MJWfo3DCE?si=Ni7ltzbb-HXu6ArE

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