连载 023 证明哥德巴赫猜想漫谈

《用初等方法研究数论文选集》连载 023

023. 证明哥德巴赫猜想漫谈

这并非一篇严格意义上的数学学术论文，而更像是一则故事、一段思考的分享。今天，我想和大家一同探讨关于2N+A空间与哥德巴赫猜想之间的一些想法和探索。

回顾过去的二十多年，我已经尝试了无数种方法去试图证明哥德巴赫猜想，其中也包括今年以来多次借助人工智能的不同策略与证明路径。在这个过程中，有些尝试以失败告终，但也有一些让我觉得取得了进展甚至成功。尤其是借助AI进行的某些证明，我能够相当确信地指出，它们确实具有一定的可行性和有效性，已然证实了这一猜想。这其中的关键，在于引入了Ltg-空间理论，并且具体运用了该理论中所定义的N+A空间与2N+A空间的概念框架。

在过去很长一段时间里，我一直深信“证明了孪生素数猜想”就可以作为证明哥德巴赫猜想的一条有效路径，甚至认为前者是后者的充分条件。然而，当我真正完成了孪生素数猜想的证明工作之后，却出乎意料地发现，这一结论并不能直接迁移到哥德巴赫猜想上，于是我逐渐修正了自己原有的看法，否定了之前那种过于理想化的关联假设。

不过就在最近，某些新的思考突然给了我启发，让我重新审视这两大难题之间的潜在联系——我似乎又捕捉到了一些线索，暗示着“证明孪生素数猜想”的确可能在某种框架下推动哥德巴赫猜想的解决。但进一步深入推敲后，我意识到这样的关联仍然不够严密，必须引入额外的约束条件和更强的逻辑基础才能形成有效的桥梁。可惜的是，在经过多番尝试之后，我并未找到一个简洁而有力的补充方案，因此最终不得不暂时放弃以孪生素数猜想为跳板去攻克哥德巴赫猜想的这条思路。

说到底，无论采用哪一种方法去证明数学命题，最重要的并不在于路径本身是否复杂或华丽，而在于它是否同时满足简洁性和严谨性。只有逻辑清晰、推理严密、并且能够以最直接的方式呈现真理的证明，才是数学追求的最佳形式。

其实，证明哥德巴赫猜想最核心、最关键的地方，在于深入理解并准确把握“2N+A空间”的数学含义及其内在结构。这一空间概念不仅是证明过程中的一个重要工具，更是整个理论体系的基石和出发点。从某种程度上来说，对这一空间的深刻认识甚至比哥德巴赫猜想本身还要重要，因为它是构建整个证明框架的逻辑基础，能够引导我们更清晰地把握素数分布的规律以及偶数表为两素数之和的可能性。只有充分理解了2N+A空间的本质，才能在证明过程中避免逻辑漏洞，确保每一步推导的严密性和正确性。

我们以2N+A (A=1,2) 研究对象。看下图：

我们还是先讲一下这个空间里面的一些性质。

1、这是Ltg-空间理论中所提出的2N+A空间结构，它仅仅是无穷多种可能空间形态中的一种特殊类型，其核心特征在于“空间维数W恒等于2”。该空间通过两个独立的等差数列来系统性地表示全部正整数集合，使得每一个正整数都被赋予了一个唯一且确定的坐标位置，这一坐标与特定的项数N形成严格的对应关系，从而构建出一个清晰而有序的数学结构。

2、正由于每一个正整数在该空间中都具有唯一的位置标识，并且与一个固定的项数N相对应，因此处在这一空间框架内的所有等差数列，都能够被转化为函数表达的形式。这种从序列到函数的转换，不仅提升了数学表达的抽象层次，也为进一步的形式化分析提供了便利。

3、具体来说，代数表达式J(N)=2N+1 不仅涵盖了正整数域中的全部奇数，还包含了除2以外的所有素数，显示出其具有深刻的数论含义；与此同时，代数式O(N)=2N+2则完整地包含了所有的正偶数。这两个表达式协同工作，在2N+A空间中实现了对正整数集的一种划分与描述。

以上内容扼要介绍了该空间的一部分基本数学性质，实际上还存在更多相关的结构特性与推广形式，出于简要性考虑，在此不作进一步展开。

这个空间里面有一个合数项公式，如下：

Nh =a(2b+1)+b a,b≥1

这个公式是什么意思？

我们可以任取一对数（1,3）代入公式，得到 Nh= 10

这还是一个“合适的项数”，代入公式

J(N)=2N+1 得，J(N)=21 这个数显然是一个含有3因子的合数。

我们可以确定一个空间（0，N]而连续取（a,b）的值，我们就可以得到这个区间里面的全部合数项Nh ，从而可以确定这个区间内的全部素数项Ns。把它代入公式

S = 2Ns+1我们就可以得到一个素数。

比如，Ns = 14 S = 2×14+1= 29

在这个空间里，虽然我们不能直接就出素数，但是我们可以直接求出合数项或合数，然后可以简洁的得到素数。而在某一区间（0，N]内，我们可以得到素数的数量。

Ns = N- Nh´ 注意Nh´与Nh 含义不同，Nh´不是公式而是合数的数量。

我们确定一个区间（0，N]后，用公式Nh =a(2b+1)+b可以求出这个区间内的全部合数项，而素数项如何表示？就是公式：

Ns=Nh \ N 含义是从全部项数N中剥离合数项Nh后，所余下的项数就是素数项Ns。

过去我们所使用的“素数表”仅用于简单罗列素数，而如今借助“Ltg-空间理论”中的2N+A（其中A=1或2）空间结构，我们同样可以构建出一个全新的“素数表”。这种构建方式不仅保留了素数的基本表示功能，还额外增加了一项重要特征——每一项素数都对应一个特定的项数N。通过转换公式S = 2N + 1，我们能够方便地在数值S与项数N之间进行双向转换。

更进一步，这种方法还提供了一种高效的途径来判断任意一个数字是否为合数。具体来说，我们可以先根据公式将待检验的数转换为对应的项数N，随后将这一项数与“素数表”中已知的素数项进行比对。如果该项数N恰好出现在素数项中，则该数为素数；反之，若未出现，则可判定其为合数。这一方法不仅提升了素数判断的效率，也为数论研究提供了新的视角。

合数项公式 Nh =a(2b+1)+b a,b≥1 在2N+A空间里是一个函数，是一个二元一次方程的曲面图形。它的全部解就是“合数项直线族”：

1k+0

3k+1

5k+2

7k+3……

Sk+n……

这些合数项数列公式可以写成，N(S) =Sk+n 的形式。

S是正整数中的全部素数，k是自变量，n是素数的初始项数。

注意，这些函数公式在整个定义域（0，∞）性质不会改变，具有一致性。

分析合数项公式 Nh =a(2b+1)+b a,b≥1 可以得到“素数在整整中的分布规律”，这是数论研究历史上的一次突破和壮举。

其实哥德巴赫猜想本身在数学的宏大体系中可能并不如一些基础理论那样占据核心地位，它更像是一个具有历史意义和象征意义的难题。然而，一旦哥德巴赫猜想得到彻底解决，其意义将远超猜想本身，因为这不仅代表着对数论中一个经典问题的攻克，更意味着我们可能由此开拓出数论研究的一个全新方向，从而打开另一个未知领域的大门。因此，尽管它看似不如其他内容重要，我们依然要坚持证明它。不过，在证明的过程中，我们需要调整思路，改变传统的证明方式，尝试从另一个角度——或许是一个更为创新和深入的视角——去探索和论证它。

在2N+A空间我们建立两条定理。

1、 项数转换定理

在2N+A的空间内，每一个项数k都是其前序项数两两首尾相加的结果。因此，在项数N上的每一个项数k都涵盖了区间[0, N)内的所有项数，即k=N。

以表格为例，我们选取一个项数k=6，它可以表示为0+6、1+5、2+4、3+3，覆盖了整个项数N的范围。由此得出k=N，即涵盖了全部区间[0, N)。

2、 正整数中值定理

每一个正整数都可以表示为两个素数的平均值。公式如下：

（q + p）/2 = N

其中， q 为前端素数， p 为后端素数， N 代表所有正整数1、2、3……

证明：

在开始证明之前，我们先做一个假设约定：1作为单位可以使用；2不是素数，而是最小的偶数。我们将基于2N+A空间的表格来证明这一命题。

首先我们选定一个区间[0，N )。

看奇数数列2N+1 ,有

1+1、1+3、1+5、1+7、 …1+q1 … → 2k1

3+3、3+5、3+7、3+11、…3+q3 … → 2k3

5+5、5+7、5+11、5+13、…5+q5 … → 2k5

7+7、7+11、7+13、7+17、…7+q7 … → 2k7

前后项相加，整理得，

（1+3+5+7…）+（q1+ q3+ q5+ q7 …）= 2（k1+k3+ k5+ k7…）

其中，1+3+5+7…= q 正整数中前端的全部素数，

q1+ q3+ q5+ q7 …= p正整数中后端的全部素数.

依据定理1，有

k1+ k3+ k5+ k7… = N 区间 [0，N )内的全部项数。

所以有，( q+p)/2 = N

这个证明是在2N+A空间里，必须符合这个空间里面的性质。证明是这个公式本身是符合数学逻辑的。

证毕！

将此公式调整为 q + p = 2N，并修改前提条件，即可转化为哥德巴赫猜想。需要注意的是，1并非素数，而2 + 2 = 4需进行特殊处理。对于偶数大于或等于6的情况，哥德巴赫猜想便得以成立。

这个证明问题不大。

不过，为了更加严谨，我们仍需对一些特殊情况及边界条件进行细致的补充说明。例如，当N取较小值时，比如N=3，此时可能的素数对为(2, 4)，但4并非素数，不过这种情况在N大于等于3且考虑偶数大于等于6时自然被排除，因为我们的关注点在于将大于等于6的偶数表示为两个素数之和。

另外，对于N=1,2, 3, 4, 5等较小数值的直接验证，虽然不直接影响猜想在N较大时的正确性，但有助于增强我们对整个证明过程的理解与信心。特别是当N=3时，虽然无法直接找到两个素数之和等于6（若严格按照不包含2+2的情况，但2+2在数学上虽不满足两个不同素数之和，却常作为哥德巴赫猜想讨论的一个边缘案例提及，实际猜想核心在于大于2的偶数可表为两不同素数之和），但当我们考虑N=4，即偶数8时，可以找到5+3=8，满足猜想。

随着N的增大，这样的素数对会越来越多，进一步验证了猜想的普遍性和正确性趋势。此外，该证明过程依托于2N+A空间的理论框架，不仅为哥德巴赫猜想提供了一个新颖的证明视角，也展示了数学中不同领域间相互渗透、相互启发的美妙之处。通过引入空间结构的概念，我们能够将看似复杂的数论问题转化为更易于处理和分析的形式，从而揭示出隐藏在数字背后的深刻规律。

2025年11月25日星期二

李铁钢于 保定市