拓扑阅读指南｜从“形状的直觉”到“结构的智慧”

导语

如果说几何学关注“形状中的度量”，那么拓扑学则更加关注“形状在连续变形下的不变性”。它揭示了世界深层的结构：那些超越距离与角度、却能决定联系与整体的规律。

在《拓扑学的思维革命：从空间直觉到系统科学》课程中，我们将以系统科学与数学思想史为线索，探索拓扑如何成为理解复杂系统与现代科学思维的核心语言。为了帮助大家更好地在课前/课后延展思考，课程主讲金威老师特别整理了一份分层次的阅读书单。

赵思怡|作者

金威|审校

科普推荐

《绳圈的数学》——姜伯驹

本书由姜伯驹院士所著，以清晰生动的笔触介绍拓扑学的核心思想，重点讲解拓扑学中与纽结论相关的基本概念，涵盖琼斯多项式、怀特公式等及其在 DNA 研究中的应用等。写法深入浅出而富启发性，适合中学生及以上读者阅读与思考。

书籍链接：https://book.douban.com/subject/3778426/

《拓扑学奇趣》——V. G. Boltyanskiĭ & V. A. Efremovich（裘光明译）

英文原著《Intuitive Combinatorial Topology》。本书以富有趣味的叙述，将平面与曲面的拓扑问题呈为一系列谜题与故事，既有直观的几何想象也有严谨的逻辑推演。内容涉及皮亚诺曲线、欧拉公式、四色定理等名题，同伦、同调与莫尔斯理论等核心概念，以及拓扑思想在液晶等物理系统中的应用，并安排了200余道习题。裘光明教授的译文流畅，保留了原著的数学美感与启发性，适合希望以轻松方式进入拓扑世界的读者。

书籍链接：https://www.amazon.com/Intuitive-Combinatorial-Topology-Universitext-Boltyanskii-ebook/dp/B000PY3NWI

《Intuitive topology》——V. V. Prasolov

本书从“橡胶”的形变出发介绍了一系列低维拓扑学中的直观概念：纽结、向量场、纽结不变量、曲面及其分类，章节短小，图文并茂，而且也配有习题（部分有答案）。遗憾的是似乎没有中译版。本书作者Прасолов（Виктор Васильевич），著有多部数学教材和科普作品。此书选入AMS（美国数学会）的“Mathmatical world”科普系列丛书。本丛书中的第二本《Fixed Points》和第六册《Knots and surfaces》也与拓扑学主题有关。

教材推荐

在教材方面，对读者的建议水平是：至少大致学过微积分和线性代数。但更重要的是好奇心和“数学上的成熟性”。

《基础拓扑学讲义》——尤承业

本书延续了逻辑较为严谨，结构清晰，内容涵盖点集拓扑与代数拓扑的初步概念，是上世纪中文拓扑教材中的代表之一。尤老师讲解清晰、层次分明，帮助读者在严密推理中建立直观理解。

书籍链接：https://book.douban.com/subject/1230382/

与之定位大致类似的国外教材是Munkres的《拓扑学》（点集拓扑内容较为详尽，代数拓扑讲到基本群和Van Kampen定理）

和Armstrong的《基础拓扑学》（讲解较通俗）。

《拓扑学引论》——江泽涵

这本书是中国最早的现代拓扑学教材之一，以精炼的语言和严密的逻辑奠定了拓扑学教学的典范。全书结构紧凑、论证严谨，体现了江泽涵先生深厚的数学功底与清晰的思想脉络。虽然行文简练，却处处蕴含启发，适合具备一定基础、希望打牢理论根基的读者。

书籍推荐：https://book.douban.com/subject/4753498/

《拓扑学导论》——鲍里索维奇等

这本苏联经典以独特的数学叙述风格，将拓扑学讲得既严谨又富有直观魅力。作者兼顾几何直觉与代数方法，从数学中的例子出发，配以大量生动插图，帮助读者在逻辑与想象之间自由切换。内容涵盖点集拓扑、连续性以及代数拓扑的核心思想。本书英文版是《introduction to topology》（Yu. Borisovich, N. Bliznyakov, Ya. Izrailevich, T. Fomenko）。

书籍链接：https://book.douban.com/subject/2156915/

《现代几何学》（三卷本）——诺维科夫等

这套三卷本堪称苏联几何与拓扑传统的巅峰之作。作者以极高的自由度，从具体的例子出发，逐步引入抽象的几何、拓扑与代数结构，展现了几何思想与物理直觉的深度融合。全书内容广博，涵盖曲面拓扑、同调与上同调理论、莫尔斯理论、博特（Bott）周期律、示性类等核心主题，既有理论高度和深度，也有与力学、物理相结合的深刻洞见，注重联系，非常有苏联特色。英译本收入 GTM 丛书，中文译本则收录于《俄罗斯数学教材选译》系列。

作者之一诺维科夫曾获列宁奖、罗巴切夫斯基奖、罗蒙托索夫奖等，且为菲尔兹奖、沃尔夫奖得主。本书对任何想涉足几何、拓扑的爱好者和研究者，包括数学家和物理学家，都是必读的著作。

书籍链接：https://book.douban.com/subject/1932857/

《拓扑学导论》——V. A. Vassiliev

本书以莫斯科独立大学的讲义为基础，系统展现了现代拓扑的理论框架与思想精髓。作者 V. A. Vassiliev 是纽结理论中著名“Vassiliev 不变量”的提出者，同时也是兼具创造力与哲学深度的数学家。全书写作风格严谨、抽象而富启发性，适合具备扎实数学基础的读者阅读。本书收录于美国数学会的 Student Mathematical Library 丛书。

书籍链接：https://product.dangdang.com/23322700.html

《点集拓扑与代数拓扑引论》——包志强

近年来的国内教材中，包志强老师的《点集拓扑与代数拓扑引论》和101计划中雷逢春、杨志青、李风玲老师的《基础拓扑学及应用》也很不错，前者富含对拓扑学各个概念的动机介绍，而后者的习题选择（划分了难度）和最后一章“应用”则更加突出。

书籍链接：https://book.douban.com/subject/25739101/

书籍链接：https://product.dangdang.com/12366129601.html

《Topology——An Invitation》——K. Parthasarathy

本书中除介绍拓扑学基本概念外，还引用了不少这些概念的发展史料。

数学史书籍推荐

《数学及其历史》——John Stillwell

数学家和历史挖掘者Stillwell教授通过生动的故事讲述数学的发展脉络，从古代几何到现代拓扑，读来如同一次思想的远征。书中拓扑部分尤为精彩，展示了欧拉、黎曼、庞加莱等数学巨匠如何塑造现代数学的面貌。

书籍链接：https://book.douban.com/subject/36000336/

《代数拓扑和微分拓扑简史》——干丹岩

本书是相关学科史领域的中文首创。凝练梳理代数拓扑和微分拓扑学发展脉络，重点呈现思想演化的逻辑。语言平实，便于理解拓扑从几何到抽象的历史必然性。

《米尔诺眼中的数学与数学家》——Milnor

菲尔兹、沃尔夫、阿贝尔奖得主米尔诺以简洁犀利的笔触，分享他心中的数学美学与思维方式。书中既有数学史，也呈现拓扑大师对创造力、简洁性与深刻性的独到理解。

书籍链接：http://www.360doc.com/content/23/1028/22/77855143_1101989638.shtml

进阶阅读推荐

如果学员想进一步深入，那么根据不同的领域，值得一读的书有：

代数拓扑

《同调论》——姜伯驹

凝聚了中国数学家原创思想的代数拓扑著作，姜伯驹院士以独特且简洁深邃的方式阐释同调与代数结构的关系。据多位听者讲述，姜院士开设的同调论课程可能是世界最好的，而这些听者也已成为了目前世界知名的数学家和学者。

书籍链接：https://book.douban.com/subject/1805814/

《Algebraic Topology》——Allen Hatcher

当代代数拓扑领域最受欢迎的（研究生）教材之一，内容丰富、叙述优雅，插图清晰，是世界公认的代数拓扑标准教材，也是无数专业学生的必读著作。

书籍链接：https://book.douban.com/subject/2332224/

微分拓扑

《从微分观点看拓扑》——John Milnor

米尔诺以简洁而深刻的风格，揭示微分拓扑的核心概念：流形、切空间与光滑映射。书薄而精，犹如聆听大师亲授，堪称以最少篇幅讲最深思想的经典之作。

书籍链接：https://book.douban.com/subject/3235763/

《Differential Topology》——Guillemin & Pollack

本书系统而细致地讲述微分拓扑的基本理论，逻辑清晰、条理分明，是众多研究生课程指定教材，也是微分拓扑入门与进阶学习的经典之作。

书籍链接：https://book.douban.com/subject/12447872/

几何拓扑和低维流形（2-3维）

《An Introduction to Geometric Topology》——Bruno Martelli

近年来Bruno Martelli的《An Introduction to Geometric Topology》是一本优秀的著作，国内的杜晓明老师和合作者不辞辛劳，将其翻译成了中文，同时在B站上也有相关的讲课视频。而研究4维流形则需要更多的复几何、微分几何和分析学知识。

书籍链接：https://arxiv.org/abs/1610.02592

纽结论

《Knots and Links》——Rolfsen

Rolfsen于1976年出版的这本书系统构建了纽结与链环的数学理论，是纽结论领域的经典基础著作，至今仍被广泛引用和学习。

书籍链接：https://book.douban.com/subject/6088883/

《Low-Dimensional Geometry: From Euclidean Surfaces to Hyperbolic Knots》——Francis Bonahon

Bonahon的这本书系统介绍了低维几何与拓扑，从欧氏曲面到双曲纽结，内容涵盖纽结论及相关低维拓扑问题。它兼具几何直觉与数学严谨性，是《大学生数学图书馆》第49本，适合希望了解双曲几何和低维拓扑领域并发展相关直觉的读者。

书籍链接：https://bookstore.ams.org/stml-49/

微分几何和纤维丛

《陈省身文集》——陈省身

这部文集收录了陈省身教授关于微分几何、纤维丛及相关拓扑问题的论文和科普文章，语言精炼而富有洞见，既展示了大师的数学思想，也提供了拓扑与几何在物理中直观应用案例。适合希望从大师视角理解微分几何与拓扑联系的读者。

书籍链接：https://book.douban.com/subject/6893675/

应用书籍推荐

《Elementary Applied Topology》——Robert Ghrist

在数学之外的应用领域，比较系统的书籍相对较少——作者一般是根据应用场景和具体问题，“挑选”“有用”的理论，并且分散于各个著作和论文。除上文中《基础拓扑学及应用》外，Ghrist的《Elementary Applied Topology》也汇集了不少应用，讲述拓扑在机器人、传感器网络、数据分析中的具体应用，因此尤为难得。本书语言现代，例子鲜活。

书籍链接：https://www2.math.upenn.edu/~ghrist/notes.html

《Geometry, Topology and Physics, Second Edition》——Nakahara

本书是物理学者的经典参考书籍，系统地讲述了拓扑和微分几何在现代物理中的应用，如规范场论、贝里（Berry）相位及超对称与弦论。

书籍链接：https://book.douban.com/subject/1768683/

《Gauge Fields, Knots, and Gravity》——John Baez

本书以清晰的几何语言，将规范场理论（包括麦克斯韦电磁场）、纽结与引力统一到几何与拓扑学框架中。既适合数学爱好者，也适合物理研究者，是理解数学与物理交叉领域的经典读物。

书籍链接：https://book.douban.com/subject/3495755/

Thouless（作者在1960年和Kosterlitz合作发现拓扑相变，并因此获得2016年诺贝尔物理学奖；苏联科学家Berezinskii也独立地发现了这种相变）的《非相对论物理学中的拓扑量子数》、《拓扑与物理》（杨振宁、[英国] 罗杰·彭罗斯等编，常亮、崔星山、于立伟等译）等，这两本书更接近于专著和论文集，需要读者有较好的数学和物理基础。

书籍链接：https://www.dushu.com/book/11421703/

书籍链接：https://www.qidian.com/book/1029128553/

从“空间”到“思维”的连续变形

拓扑学不仅是一门数学，更是一种理解世界结构的方式。它教我们超越形状与尺度，看见隐藏在变化背后的不变，看见系统中各部分之间的连续与整体。无论你是初学者、研究者，还是对复杂系统充满好奇的思考者，拓扑学都能带来一种独特的智性愉悦——那是一种从混沌中辨认秩序、从形式中体悟本质的快感。

希望这份书单能成为你的“思维地图”，帮助你在欧拉的七桥、庞加莱的洞、陈省身的曲面、姜伯驹的结环之间，看见一个更深的世界：——一个可以被连续变形、却始终保持联系的思想宇宙。

“拓扑学，是形状的哲学；而内蕴形，是思想的几何。”

拓扑学课程：从空间直觉到系统科学

你是否曾思考过：为什么咖啡杯在数学上可以变成甜甜圈？为什么混沌系统中会出现周期轨、可约化结构和“奇怪吸引子”模式？为什么神经网络、量子物理甚至心理结构，都可以从“拓扑”角度理解？

拓扑学不仅是数学的抽象分支，更提供了系统的思维方式，让我们理解连续性、结构不变性乃至复杂系统的整体规律。从欧拉七桥问题到DNA的缠结，从量子场论到思维科学与脑科学，拓扑学思想正在各学科中普遍而深刻地重塑着我们的认知方式。

集智学园联合北京大学博士金威老师开设，课程将于11月23日开启，现在加入可享早鸟价格。

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