熵产生引力 Gravity from entropy

Gravity from entropy 熵产生引力

https://arxiv.org/pdf/2408.14391

引力源自一种熵作用（entropic action），该作用将物质场与几何结构耦合起来。其基本思想是：将洛伦兹时空的度规与一个量子算符相关联，该算符起到一种可重正化的有效密度矩阵的作用；同时，依据狄拉克–凯勒（Dirac–Kähler）形式体系，将物质场以拓扑方式描述为零形式（0-form）、一形式（1-form）与二形式（2-form）的直和。尽管时空几何由其度规定义，物质场却可用于定义另一种度规——即由物质场所诱导的度规；该度规则从几何上刻画了时空与物质之间的相互作用。所提出的熵作用即为时空度规与物质场所诱导度规之间的量子相对熵。

由该作用导出的修正爱因斯坦方程，在弱耦合情形下，退化为宇宙学常数为零的标准爱因斯坦方程。通过引入一个称为 G 场的辅助场（acting as a set of Lagrangian multipliers，即作为一组拉格朗日乘子），该熵作用可约化为一种“修饰过的”爱因斯坦–希尔伯特作用量（dressed Einstein–Hilbert action），其中出现一个仅依赖于 G 场的、小而正的涌现宇宙学常数。所得到的修正引力方程，在度规与 G 场中均保持二阶微分形式。

对该场论进行正则量子化，可能为量子引力研究带来新的洞见；而进一步研究则有望阐明：G 场在暗物质问题中可能扮演的角色。

I. 引言

广义相对论、统计力学与信息论之间的关系，是理论物理学中的一个核心研究课题。人们对这一课题的兴趣，源于黑洞具有熵[1, 2]并辐射霍金辐射[3]的发现。近年来，信息论、纠缠熵[4–6]与引力[7–13]之间的重要联系已被揭示；这些进展涉及全息原理[14–16]、量子场论中的纠缠性质，以及冯·诺依曼代数理论[17, 18]。

上述成果确立了一个极为活跃的研究方向[19]，表明：建立一种以信息论与统计力学为基础的终极引力理论的探索仍在持续进行。人们期待一种完备的统计力学引力方案，它一方面可导出修正的爱因斯坦方程[20–22]，这些方程既可在实验上加以检验[23, 24]；另一方面又可为黑 holes[25]、暗物质[26]与量子引力[27–32]的终极理论提供重要的概念性洞见。

本文所研究的是一种基于统计力学作用量的连续修正引力理论。该理论将时空每一点处的度规视为一个“可重正化”的密度矩阵，更准确地说，是一个局域量子算符。这一核心思想将几何与量子场论的数学基础[33]联系起来，其灵感源自冯·诺依曼代数在解释场论[17, 18]与量子引力[34–36]中的纠缠现象时的应用。当时空几何由其度规定义时，物质场与几何之间的相互作用则由“物质场所诱导的度规”来刻画——该度规描述了物质场如何有效地弯曲时空。本文采用一种统计力学的引力观，将上述度规张量解释为量子算符，并提出一个引力作用量：即流形本身的度规与物质场所诱导度规之间的量子相对熵。从数学角度看，本文所提出的量子相对熵，严格关联于冯·诺依曼代数中的荒木（Araki）量子相对熵[17, 37–39]；从物理角度看，该作用量完整刻画了物质如何弯曲几何，以及几何如何反作用于物质场。

所提理论的一个关键环节，是采用一种拓扑性描述（类似狄拉克–凯勒[Dirac–Kähler]形式[40, 41]）来处理玻色型物质场。值得注意的是，狄拉克–凯勒形式及交错费米子形式向玻色粒子的推广，正日益受到格点规范理论[42, 43]与网络理论[44]的关注。本文中，这些玻色物质场被表述为定义在描述时空的黎曼流形上的0-形式、1-形式与2-形式的直和。此外，由这些拓扑物质场所诱导的度规，可用霍奇–狄拉克算子（Hodge–Dirac operator）[45]来表达。

基于这一统计力学引力框架，我们通过引入一个与引力相关联的辅助场（本文称之为G 场）推导出了修正的爱因斯坦方程。引入这一新场具有合理性：它充当一组拉格朗日乘子，用于对物质场所诱导的度规施加线性约束。在此意义上，G 场推广了在 f(R)引力理论[20, 22]中广为使用的勒让德变换方法。得益于该作用量特有的熵结构，修正爱因斯坦方程呈现出极为简洁的形式。作用量中的引力部分表现为一种“修饰后的”爱因斯坦–希尔伯特作用量（dressed Einstein–Hilbert action），其中出现了一个涌现的、为正的宇宙学常数；该常数仅依赖于 G 场。

本文在作者先前于离散构型下取得的结果［44］基础上，进行了大幅拓展。一方面，本文提出了一种连续且完全洛伦兹协变的理论。这一进展得益于发展出了一套适当的数学框架，使得能够定义时空度规与物质场所诱导度规之间的洛伦兹不变熵与交叉熵。另一方面，本文建立了该统计力学／信息论作用量与爱因斯坦–希尔伯特作用量［46, 47］之间的联系，从而清晰地将其与引力理论相衔接。

相较于文献［44］，本工作包含两个关键且全新的要素，对明确建立该方法与引力之间的联系至关重要：
第一，本文构建了一种局域理论，即在时空每一点处定义度规的熵；而先前工作仅考虑高阶网络整体度规所对应的熵。这种局域化处理使本理论与引力的联系更为紧密，也为将该方法与量子纠缠理论［17］建立关联迈出了重要一步。
第二，通过采用连续极限，本文规避了在离散结构（如网络、单纯复形与胞腔复形）上定义曲率时所固有的困难。

为保持论述的简洁性，本文主要聚焦于标量（玻色型），并仅在附录 A 中简要提及将该框架自然推广至阿贝尔规范场的可能性；而文献［44］则还涵盖了费米型物质场。至于将本文所提出的局域框架进一步拓展至狄拉克场与非阿贝尔规范场［44, 48, 49］——无论在连续或离散设定下——则留待未来研究。

本文结构如下：
第 II 节阐述所提理论的动机，并讨论一个具有启发性的预备性例子；
第 III 节概述该理论框架，提出引力的熵作用量，并推导相应的修正爱因斯坦方程；
第 IV 节给出总结与展望。
此外，本文包含三个附录：
附录 A 讨论该理论框架可能的拓展方向；
附录 B 提供所需的数学背景；
附录 C 给出第 III 节中所用符号的全部细节，并建立本理论与局域量子算符理论及荒木熵（Araki entropy）之间的联系。

II. 理论的动机与初步考虑

A. 秩2张量的本征值与对数

时空由一个无挠的、d维黎曼流形 K 描述，该流形配备一个具有符号 {−1, 1, 1, …, 1} 的洛伦兹度规 gμν，以及一个与度规相容的列维-奇维塔联络 Γσνμ，它决定了协变导子 ∇μ。为了构建我们的统计力学与信息论引力作用量，我们首先需要定义秩2张量 Ĝ 的本征值及其对数。为此，我们首先以洛伦兹不变的方式定义协变张量 Ĝ 的本征值 λ 和本征矢量 V(λ)ν，其元素为 Ĝμν。它们满足本征值问题：

我们称一个秩2张量是正定的，如果它的所有本征值均为正数。我们注意到，这种对秩2张量本征值的定义可简化为矩阵 Ĝg⁻¹ 的本征值定义，因为方程(1)可以重写为：

在本节中，我们仅关注作为向量（及1-形式）之间度规的二阶张量。在后续段落及附录B中，我们将把本征值的概念进一步拓展至由四阶张量表示的二重向量（及2-形式）之间的度规矩阵。附录B将表明，这一方法具有一般性，可适用于任意阶 n 向量（及 n-形式）之间的度规张量。

B. 预热场景：熵作用量

在构建我们的理论之前，我们先考察一个富有启发性的预热场景，以帮助阐明后续将提出的理论。既然已定义了正定二阶张量的对数，我们现在便能够定义与1-形式相关联的度规的洛伦兹不变量子熵H。该定义受到冯·诺依曼熵表达式的启发，但此处并不要求张量在时空每一点处的迹恒为1。因此，严格而言，我们将一般的度规张量解释为一种量子算符［33］，其物理诠释为一种可重正化的有效密度矩阵［18］。我们考虑正定且可逆的1-形式度规，它由一个二阶协变张量 表示。我们定义 的熵 H为：

需注意的是，张量本征值与熵的定义问题是一个研究极为活跃的课题；类似定义已在弹性理论［50］与应用张量分析［51］中被提出（尽管并非以洛伦兹不变的方式定义）。在当前这一预热场景中，我们将针对具有二阶张量形式的不同度规，定义其熵与量子相对熵。关于所用符号的参考，请读者参见表 I。回顾可知，度规 g的所有本征值均为 1，因此其熵为零，即：

本理论的基本假设是：时空配备两个度规——其一为度规 g，它完全确定时空的几何结构；其二为由物质场所诱导的度规 G，它完全刻画物质场与几何之间的相互作用。关于物质场所诱导度规的详细讨论留待下一段展开；此处我们假设：作用量应明确表达这两个度规之间及其相互耦合的关系。基于统计力学的视角，我们考虑拉格朗日量 L由度规 g与物质场所诱导度规 G之间的量子相对熵给出，其定义为：

此处一个重要的要点是：由方程(12)给出的洛伦兹不变量子相对熵的定义，要求矩阵 G与矩阵 g均必须可逆。因此，这构成了与严格意义上的密度矩阵（可以是半正定的）之间的又一区别。现在我们已具备条件，可考虑与拉格朗日量 L相关联的作用量 S，其表达式为：

其中，∣−g∣表示度规 g的行列式的绝对值，ℓP表示普朗克长度。

我们注意到，量子相对熵 [17, 37, 38] 是量子信息论 [39]、局域量子算符理论 [33] 以及量子引力数学基础 [34–36] 中的一个核心量。尽管我们并不知晓此前是否有人将度规解释为量子算符，但众所周知，量子相对熵也可在推广了密度矩阵概念的量子算符之间定义。特别地，在量子算符代数的基础理论中 [37, 38]，量子算符以类似于本文所采用的度规张量的方式，推广了密度矩阵的概念。在此理论框架下，量子算符（例如我们的度规矩阵）在流形上每一点处可能具有有限的迹，但该迹未必是幺正的（即不一定等于1），且可能是流形上所考虑点的函数。对于这些量子算符，荒木量子相对熵 [37, 38] 是有定义的。当量子算符退化为迹为幺正的密度矩阵时，该熵简化为冯·诺依曼熵；但它同样也适用于非幺正迹的量子算符。

其中，此处及下文中的上划线“¯”表示复共轭。由于 G 应为无量纲量，因此在单位制 ħ = c = 1 下进行计算较为方便，并令 α = α′ℓₚᵈ，其中 ℓₚ 是普朗克长度，α′ 为无量纲参数。

我们注意到，在标量场 φ 为实数（即 φ(x) ∈ ℝ）且度规为平直欧几里得度规（即 gμν = δμν）的极限情况下，由方程(14)给出的物质场所诱导度规 G 会退化为浸入于 ℝᵈ⁺¹ 中的 d 维流形的第一基本形式（高斯形式），该流形由点集 (x, φ(x)) 定义。关于实标量场所诱导度规的底层数学处理，感兴趣的读者可参阅文献[52]。

在空时空（无物质）情况下，M = 0 且 L = 0，因此该方程自动满足，与度规 g 的具体取值无关。故在此极限下，度规 g 并不由作用量决定。

现在让我们对这一预热推导作几点评论。我们提出的统计力学框架非常富有启发性，因为在弱耦合（即 0 < α|∇φ|² ≪ 1）极限下，通过最小化量子熵作用量，我们得到了无质量的克莱因-戈登方程。然而，这种方法存在两个重要局限：第一，克莱因-戈登方程不包含质量项；第二，在没有物质场的情况下，度规无法被确定。在下文中，我们将提供一个更全面的框架来解决这两个局限。该框架可与引力相关联，因为它能导出修正的爱因斯坦方程，并且在弱耦合极限下退化为标准的爱因斯坦方程。

III. 物质场与几何耦合的熵理论

A. 拓扑物质场及其关联度规

为从我们的熵作用量中导出引力，我们必须考虑拓扑玻色物质场。此类拓扑玻色物质场是一种狄拉克–凯勒（Dirac–Kähler）型玻色子［40, 41］，由一个0-形式、一个1-形式与一个2-形式的直和构成。近年来，拓扑玻色场在离散理论中日益受到关注，尤其在网络理论［44］与格点规范理论［42, 43］中均有应用。

引入拓扑玻色场，将使我们得以在物质场所诱导的度规中纳入依赖于玻色场质量的项，从而解决前述预热场景中的第一个局限——即无法生成质量项。

在本文主体部分，我们将仅研究（玻色型）狄拉克–凯勒物质场。然而，规范场和费米型狄拉克场同样可以被纳入该框架。关于阿贝尔规范场的包含讨论，请参见附录 A。

或许该方法还可推广以包含更高阶形式。但为简化起见，我们此处仅考虑由0-形式、1-形式与2-形式直和构成的拓扑物质场——这是使作用量中能显式包含里奇标量、里奇张量及黎曼张量的最小选择。

B. 熵拓扑与几何作用量

正如先前所预期的，这一体系克服了预热场景中的第一和第二个局限。事实上，通过这种方式，我们完整地恢复了弯曲时空中的克莱因–戈登拉格朗日量。此外，通过向 G~中加入与曲率 R~成正比的项，我们解决了预热场景的第二个局限，并得出结论：该熵作用量允许在真空中完全确定度规。

D. 物质场的运动方程

E. 修正引力

IV. 结论

本文提出了一种源于统计力学与信息论作用量的修正引力理论。该理论的核心思想是：将度规与一个量子算符相关联，该算符扮演一种可重正化且有效的密度矩阵的角色。具体而言，本文讨论了两个度规：其一为时空度规，它完全确定时空的几何结构；其二为物质场所诱导的度规，它有效刻画了物质场对时空的弯曲效应。时空几何与物质场之间的相互作用，由所提出的作用量明确捕捉——该作用量定义为时空度规与物质场所诱导度规之间的量子相对熵。

本文构建了一个与上述引力基本物理解释相一致的洛伦兹协变理论。为此，我们发展了必要的数学框架，使得可在严格洛伦兹协变的意义下定义度规张量的熵与交叉熵。当物质场以拓扑狄拉克–凯勒玻色子加以描述——即由0-形式、1-形式与2-形式的直和构成，并且所诱导的度规亦依赖于时空曲率时，该框架自然涌现出一种修正引力理论。所得修正爱因斯坦方程在弱耦合极限下退化为标准爱因斯坦方程。通过引入G 场，我们推导出了修正的爱因斯坦方程，以及物质场与 G 场的运动方程。该理论表明：所提出的熵作用量可分解为两项之和——一项是“修饰的爱因斯坦–希尔伯特作用量”，另一项是物质作用量。值得注意的是，该修饰引力作用量展现出一个涌现的、为正的宇宙学常数ΛG，且其仅依赖于 G 场。此外，得益于 G 场的引入，修正引力方程在度规、物质场及 G 场中均保持至多二阶导数的形式，从而可能规避高阶导数理论常见的奥斯特罗格拉德斯基不稳定性。

将拓扑度规矩阵解释为量子算符（或有效密度矩阵）——即放松“迹为单位”的约束、但要求其可逆——被证明极为有效。这些选择的动机源于构建洛伦兹协变理论的必要性。本文已建立起所采用的量子相对熵作用量与荒木量子相对熵［37］之间的联系，为未来运用冯·诺依曼代数理论与量子纠缠理论［17］进一步探究本理论的性质开辟了路径。

总之，我们期望本方法有助于揭示引力、量子力学与统计物理之间深刻的内在联系。鉴于度规被诠释为量子算符，我们亦希望这一框架能为二次量子化语境下的量子引力理论构建提供有力工具。

未来研究可进一步探索 G 场在暗物质现象中可能扮演的角色；亦可考察所提出的熵作用量在重整化群流下的行为，并探求其与实验观测和唯象学结果之间的潜在联系。

原文链接：https://arxiv.org/pdf/2408.14391