提到数学,严谨、标准答案、不容置疑,是很多人对数学的第一反应。但很少有人知道,三次足以撼动根基的大地震,这门看似完美的学科在历史上曾经历过,每一次都让数学家们怀疑人生,甚至重新搭建整个数学体系。
公元前5世纪一个叛逆的发现,催生了第一次危机的爆发。世间一切都能拆成整数或整数之比,是毕达哥拉斯学派坚信的真理,这在当时是不可动摇的信条。可学派里的希帕索斯偏偏较真,直角边和斜边的比值,希帕索斯在研究等腰直角三角形时发现根本没法用整数表示。这个发现像一颗炸弹,直接炸碎了学派的核心信仰,如果连最基础的几何关系都不符合万物皆数,整个数学体系岂不是要崩塌,这个疑问在当时困扰着所有古希腊数学家。
![]()
这场危机让古希腊数学家们陷入了长久的迷茫,数的本质到底是什么,是那场危机中数学家们不得不重新思考的问题。很多时候,科学的进步恰恰是打破自己深信不疑的常识。希帕索斯的发现虽然让他遭到排挤,但却逼着人们跳出有理数的局限,无理数这个新伙伴,在希帕索斯的发现后被人们逐渐接纳。直到1872年,一个严谨的身份,德国数学家戴德金在1872年通过戴德金分割理论赋予了无理数,让它正式加入数学大家庭,第一次危机才算尘埃落定。
时间来到17世纪,牛顿和莱布尼茨联手搞出的微积分,这门学问简直是科学界的神助攻,无数之前搞不定的物理和数学难题,被微积分轻松解决了。但热闹的背景下却有大问题:微积分里的无穷小量根本说不清楚。它有时候像零,另一些时候可能又不是零,消失的量的幽灵,是贝克莱主教对微积分中无穷小量的辛辣吐槽,连核心概念都模糊不清,这数学能靠谱吗?
![]()
这场质疑引发了第二次数学危机,数学的底线在第二次危机中被数学家们重新明确为严谨,也让数学家们清醒过来:创新不能只图好用。前进的跳板,往往是创新初期的不完美,微积分的实用价值摆在那里,没人愿意放弃这个强大的工具,只能回头补基础。19世纪,一个精准定义,柯西、魏尔施特拉斯等数学家在19世纪用极限理论给了无穷小量,把微积分从模糊的好用变成严谨的可靠,这场持续百年的危机才终于化解。
前两次危机都有明确的解决方案,可第三次危机却至今让人头疼。19世纪末,数学的万能地基是19世纪末康托尔创立的集合论,大家觉得终于找到所有数学分支的统一基础了。没想到1902年,集合论的漏洞,被罗素在1902年用一个看似简单的问题直接戳穿。村里所有不给自己刮脸的人,是那位理发师宣称只愿服务的对象,那他自己要不要给自己刮脸?给自个儿刮,就违背了只给不给自己刮脸的人刮,不给自个儿刮,又符合条件该给自己刮,怎么说都矛盾。
![]()
数学基础的内在矛盾,被理发师困境这一罗素悖论揭发,如果数学的地基都有裂缝,那上面的所有建筑不都有坍塌的风险?为了补这个漏洞,数学家们想了各种办法,罗素搞了类型论,给集合分等级避免自相矛盾,策梅洛、弗伦克尔建立了ZFC公理体系,用规则规范集合的构造,希尔伯特主张把数学形式化,靠公理系统的一致性来保证可靠。
可1931年,哥德尔的不完备性定理给所有努力浇了一盆冷水:任何包含算术的公理系统,只要是一致的,就一定有解决不了的问题。简单说,数学自己证明不了自己的完美,它的基础没法做到完全自给自足。要是当时有辩论赛,贝克莱和数学家们的对决肯定比现在的热门话题还热闹,而哥德尔的定理大概就是那场辩论里最让人哑口无言的结论。
![]()
第三次危机和前两次完全不同,它没有被彻底解决。现在的数学家们只能用公理化集合论暂时稳住局面,但数学基础的局限性已经被摆到了台面上。有人继续研究大基数公理,想给ZFC系统升级,更完善的集合宇宙,是钻研内模型理论的学者们试图构造的目标,也有人从哲学角度思考,数学到底是人类发明的符号游戏,还是客观存在的真理。
数学这门学科最有趣的地方,可能就是它从不回避矛盾。三次危机没有打垮数学,反而让它变得更强大、更深刻。第一次危机让数的家族变得更庞大,第二次让微积分站稳了脚跟,第三次则让我们看清了数学的边界。
特别声明:以上内容(如有图片或视频亦包括在内)为自媒体平台“网易号”用户上传并发布,本平台仅提供信息存储服务。
Notice: The content above (including the pictures and videos if any) is uploaded and posted by a user of NetEase Hao, which is a social media platform and only provides information storage services.