用热力学、相对论流体和信息论来解释引力的熵本质

Entropic Description of Gravity by Thermodynamics RelativisticFluids and the Information Theory

用热力学、相对论流体和信息论来解释引力的熵本质

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摘要：

本文旨在提出一种统一广义相对论与量子物理的新方法。为此，我们借助热力学、流体力学和信息论。我们将看到，香农熵、玻尔兹曼熵和冯·诺依曼熵可能正是引力的来源，而引力则是一种涌现的形式。为此，我们首先探讨广义相对论与量子物理未能统一的原因；其次，通过引入埃里克·韦尔兰德（Erik Verlinde）的计算，阐述熵引力的概念；接着，解释玻尔兹曼熵、香农熵、冯·诺依曼熵及其相互联系；然后，通过将理想流体的能量-动量张量以熵的形式重新表达，对爱因斯坦场方程进行修正；最后，我们将本理论与已开展的、旨在建立引力与量子理论联系的实验进行关联。

关键词：全息原理、量子引力、广义相对论

1. 量子引力形式化的困难

   广义相对论［1, 2］是一种引力理论：爱因斯坦于1907至1915年间提出，指出此前由牛顿方程所描述的引力实际上是能量集中所导致的时空弯曲。该理论可简化表示为如下方程：

其中，P 为压强，ρ 为密度，uᵢuⱼ 为四维矢量，gᵢⱼ 为度规张量。最终，Gᵢⱼ 定义了使空间产生特定曲率的爱因斯坦张量（即应力-能量张量）。

量子物理 [3] 与经典物理和相对论截然不同。事实上，它是概率性的：物理系统的演化由薛定谔方程可计算出的波函数定义。而量子物理的一个基本原理是：在量子系统未被测量之前，其状态是未定义的。薛定谔方程如下所示：

请注意，哈密顿量给出了系统的总能量，其中 ℏ 是约化普朗克常数（对应动量），−ℏ²Δ/(2m) 对应动能，V(r⃗, t) 为系统的势能。拉普拉斯算子 Δ 是一个拉普拉斯算符。该方程是关于时间的一阶微分方程。因此，若已知系统在初始时刻的状态，则可推知系统在任意时刻 t 的状态。

最后，量子物理的另一个基本原理是海森堡不确定性原理：

这个方程简单来说意味着，人们无法同时以无限精确度定义位置和动量。

主要问题在于理解引力的起源。事实上，“无穷大”出现在你试图将引力用量子方程数学化的时候。因此，引力的量子理论是不可重整化的。那么，是否存在另一种形式体系，能在量子方程中标准化引力？引力在量子层面真的存在吗？那么……引力的起源是什么？它是涌现出来的吗？

这实际上将定义一种力学“尺度”与统计学。事实上，目标是从极小尺度的形式体系（称为量子层面）过渡到宏观形式体系（热力学尺度，包括理想气体的研究），最终达到大尺度形式体系（相对论尺度）。为此，我们需要信息论和热力学中的基本公式。

下一部分将探讨热力学与引力之间的关系。另一种引力的形式体系由此诞生。

2 热力学与引力：走向一种熵力

埃里克·韦尔兰德 [4,5] 于2011年4月发表了一篇29页的论文，题为《论引力的起源与牛顿定律》。他是第一个提出引力可用熵的方式描述的人。我将以一个被封闭盒子盛装、置于可移动活塞上的气体为例，详细阐述其计算过程，并假设系统保持温度 T 不变。由于压强是作用在表面上的力，且假设气体为理想气体，我们可以写出：

但引力在哪里呢？事实上，在广义相对论中，引力本质上是一种压力。它是一个质量对某个“表面”——即时空——施加某种“压力”，从而导致时空弯曲。同时请记住熵的一个基本原理：两个粒子组成的系统，当粒子彼此越靠近时，其熵越高。这一说法与引力的性质相似：两个物体距离越近，引力就越强。
因此，对于两个质量分别为 m和 M、相距为 R的物体，我们可以推导出以下公式：

韦尔兰德方程令人惊叹之处在于，通过赋予引力一个熵的起源，无需对微观尺度上发生的事情做任何说明，便能推导出宏观的引力作用。该论文的发表在科学界引起了轰动，既有积极的也有负面的批评。

3 熵与信息

但我们还将更进一步。事实上，我们将探讨熵的本质，并将其纳入爱因斯坦方程之中。熵有多种形式的数学表达，我们现在逐一介绍。第一种是下文所用的玻尔兹曼熵［6］，其表达式为：

该方程定义了一个处于宏观平衡态的物理系统的微正则熵，但该系统在微观尺度上可自由演化于 Ω 个不同的微观态之间（Ω 也称为“位形数”或“系统构型数”）。其单位为焦耳每开尔文（J/K）。
熵是热力学第二定律的核心，该定律指出：“任何热力学系统的转变过程，都会导致系统与其外部环境的总熵增加，我们称之为熵的产生。”
“一个孤立系统中的熵只能增加或保持不变。”

还有香农公式［7］。香农熵由克劳德·香农提出，是一个数学函数，用于度量信息源所包含或所产生的信息量。信息源的冗余度越高，其所含的信息就越少。当信息源中各个符号出现的概率相等时，熵达到最大值。香农熵可被看作是对一个随机事件（或更准确地说，其概率分布）不确定性的度量。通常，对数以2为底（即二进制）。其公式为：

冯·诺依曼熵与香农熵形式相同，只是使用了密度矩阵 ρ作为变量。正如塞尔日·拉罗什（Serge Laroche）所述，该公式可用于计算两个粒子之间的纠缠程度：如果两个粒子完全纠缠，则熵为零；反之，若两个粒子之间的纠缠达到最大（且我们无法访问其子系统），则熵也达到最大值。在经典力学中，熵为零意味着事件是确定的（只有一种可能性）；而在量子力学中，这意味着密度矩阵对应于一个纯态 ψ。然而，在量子物理中，测量结果通常是不可预测的，因为概率分布依赖于波函数和所选的可观测量。

这一点也可由海森堡不确定性原理解释：例如，如果我们对粒子的动量掌握更多信息（即熵更低），那么对其位置的信息就更少（即熵更高）。这意味着，尽管熵可能很低，量子物理本质上仍深陷于熵之中。

现在我们已经了解了玻尔兹曼熵和香农熵，可以将二者结合，得到玻尔兹曼–香农熵，也称为统计熵［8］。若考虑一个热力学系统，它可处于若干微观态 i，各态出现的概率为 pi，则其统计熵为：

该函数至关重要，将在我们的引力熵理论中被持续使用。其单位为比特（二进制单位）和焦耳每开尔文（J/K）。

想象［9］两个相邻的隔室（或房间，按你喜好称呼），其中存在粒子。我们将第一个隔室（或房间）称为 A，另一个称为 B。

如果所有粒子都在 A 中，或所有粒子都在 B 中，从数学上看，此时熵最小，信息的不确定性为零。

相反，如果粒子在 A 和 B 中均匀分布（即 A 和 B 中的粒子数量相等），则熵达到最大值（高度无序），信息的不确定性也达到最大。

最终，香农熵与玻尔兹曼熵本质上是同一概念。

为了更深入理解将信息与热力学联系起来的必要性，我们必须认识到信息论在物理学中的影响范围，以及它可能解决的问题。一个强有力的例证就是信息悖论：根据广义相对论的观点，信息可以完全消失在黑洞中，这是一个不可逆过程。然而，在量子物理中，信息必须始终被保存，且过程是可逆的（即先前的状态可以被还原）。

1. 修正的爱因斯坦方程：基于熵引力与信息论提出一种热力学形式

上文我们给出了简化的爱因斯坦方程。在本节中，我们将使用理想流体的应力-能量张量来计算爱因斯坦方程。为此，我们需要计算两个量：压强和体积密度。

压强可写为：

我们注意到，这一次爱因斯坦方程直接通过热力学定律以统计方式被描述。引力由此成为一种从宏观尺度涌现的力。事实上，若聚焦于 的依赖关系，我们会发现：当时空曲率增大时，熵也随之增大，反之亦然。因此，很可能是熵影响了时空的曲率，而时空曲率反过来也影响熵。我们可以用量子的方式来形式化爱因斯坦方程，只需使用冯·诺依曼熵即可。

所得结论与之前一致：时空的曲率会影响熵。然而，此处出现的是量子熵。这意味着空间的最小微观结构（“空间的最小粒子”）会影响时空本身。

为向您说明这一点，我们来展开这个方程。考虑纯物质的情形［11］，连续介质的应力-能量张量可写为：

现在假设温度和体积均为常数。如果像之前那样进行处理，将每一个常数移除，我们将会得到：

这意味着熵对曲率有直接影响，反之亦然。当然，这个方程是“不准确”的，因为我们已将其尽可能地简化了。然而，这种简化对于理解熵在时空中的重要性是必要的。
最后，如果曲率为 1（即平坦空间），且温度为常数，我们将会得到：

这个公式简单地表明，正如我们上面所解释的，当体积增大或减小时，熵也随之增大或减小。

可以认为，一个系统的信息是包含或存储在体积之中——正如我们所指出的那样，而非如全息理论方程［15］所描述的那样存储在表面上！信息存在于时空的一个体积 V之内。

1. 通向量子引力之路

爱德华·布鲁斯基（Edward Bruschi）及其团队的一项实验表明，引力与量子纠缠之间确实存在联系［16, 17］。

耶路撒冷量子物理研究所的物理学家大卫·爱德华·布鲁斯基（David Edward Bruschi）证明了量子纠缠会影响引力场。引力场的扰动与两个粒子之间纠缠强度成正比。根据两粒子之间的距离、能量、相干态以及量子关联的强度，时空度规会出现微扰效应，从而以微弱的方式改变引力场。

该实验使用了一个玻色-爱因斯坦凝聚体，其中两个粒子处于纠缠态，但运行在不同轨道上且具有不同速度。研究者试图探究纠缠强度是否会因引力场强度的变化而发生改变。为此，首先需将两颗微卫星置于同一轨道上，随后对其中一颗施加一次突然的推力，使其进入第二条轨道，经历速度和引力的骤变。根据理论计算和数值模拟，物理学家预计该凝聚体之间的纠缠将损失约 20% 的有效性。

“纠缠强度”究竟指什么？实际上，它指的是两个粒子之间的关联程度。而这种关联程度可以通过冯·诺依曼熵来计算。正如哈罗什（Haroche）［17］所著述的那样，我引用如下：“一个关联粒子对所包含的信息（即无知程度更低）多于其各部分信息之和（当A和B不关联时，两者相等）”；以及“AB系统的纠缠程度，体现为我们失去对整个系统进行测量的能力、只能局部访问其中一个子系统时，我们无知程度的增加量。”

事实证明，韦尔兰德的方程表明：熵（即信息的不确定性）与牛顿引力成正比！此外，在对熵进行积分之后，我们发现熵与引力势能之间存在等价关系。

由此可得：引力强度的突变会导致熵的增加，这正符合玻尔兹曼热力学所规定的规律。根据玻尔兹曼–香农熵（甚至玻尔兹曼–冯·诺依曼熵）公式，这种熵的增加表现为系统无序度的上升，同时也意味着信息不确定性的增大。

1. 一般性结论

引力是一种涌现的、具有信息本质的熵力。它由玻尔兹曼–香农熵定义，并有其量子版本——玻尔兹曼–冯·诺依曼熵。信息系统的不确定性越高，引力就越强。

如果你从爱因斯坦方程出发，通过求解理想流体的能量-动量张量，并结合热力学与信息论，就会发现熵主要依赖于系统的温度、时空的曲率以及体积。因此我们推测，信息是记录在时空的某个体积之内的。

全息理论认为，我们可能是某个二维空间（即表面）向三维空间的投影。而依据我的方程，我想说的是：无论时空本身具有多少维度，我们都可能是该时空向三维空间的投影。这种观点更简单，也更具普适性——归根结底，我们完全可以是从某个具有2维、3维、4维甚至更高维度的空间向三维空间的投影。

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