【毅言堂】从覃慧玲老师的《找质数》，理解教材设计的苦心

【毅言堂】

从覃慧玲老师的《找质数》，理解教材设计的苦心

北师大版小学数学五年级上册《找质数》一课，位于第三单元《倍数与因数》的第5课时，在前4个课时中，分别学习倍数与因数概念，探索2，3，5的倍数特征活动，找因数，在此基础上学习质数的概念，帮助学生认识质数与合数。2022版新课标中对于第三学段（5-6年级）内容要求中，数与运算部分，要求知道2，3，5的倍数的特征，了解公倍数和最小公倍数，了解公因数和最大公因数，了解奇数、偶数、质量（或素数）和合数；对这部分内容的学业要求是，能找出2，3，5的倍数，在1~100的自然数中：能找出10以内自然数的所有倍数，10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数；能找出一个自然数的所有因数，两个自然数的公因数和最大公因数；能判断一个自然数是否是质数或合数。

教材内容

解决第一个问题：什么是质数？

原教材设计思路：

拼长方形活动

准备若干个小方块，请同学们用它们拼出一个长方形，分别使用2、3、4、5、6个小方块能拼出多少种长方形？你拼出的长方形的两条邻边上各有几个小方块？

下图是用2个、3个、4个、5个、6个小方块拼出的长方形

活动解读

当学生用小方块拼长方形之后，发现面积为2、3、5的长方形，形状是相同的，区别只是“横放”或“竖放”，这些长方形的一条边上只有1个小方块，而面积为4、6的长方形，则出现了多种形状，它们的一条边上可能不止一个小方块，还包括特殊的长方形——正方形；

每个长方形各边上的小方块数量，与所需小方块总数之间，存在如下关系：长×宽=总数(面积)，所以拼长方形活动的实质，是找因数；找因数的目的是为了分类，我们可按所拼成长方形的特征来分类：

只有一种形状的——>只有两个因数；

不止一种形状的——>有两个以上因数；

这样就把除1外的非零自然数不重复、不遗漏地完成了分类.

接下来就顺理成章地对每个分类进行命名，便得到了质数与合数的概念.

解决第二个问题：怎样找质数？

在课堂上我们可以根据质数的定义找到2，3，5，7，11，13等质数，在全班学号范围内，这些不难办到，同时学生自然会产生新问题：只有这些质数吗？更多质数是多少？有限个还是无限个？质数分布有规律吗？

当然，一开始，都是猜想，正如数学史上著名的猜想一样，论证数学问题的一般经历是猜想、验证、拓展，这条路，在小学阶段，需要让学生体验。

限于小学五年级学生的认知，我们不妨在百数表中寻找质数，怎么找？根据概念，除1和自身之外，若还有别的因数，则一定是合数，而在百数表中找2，3，5的倍数，前面已经学习过，不妨借用，这就是方法的迁移；

百数表本身的分布是有规律的，第一行是1-10，第二行是11-20，每列相邻两个数相差10，每行相邻两个数相差1；

去掉数字1后，先划掉2的倍数，如下图：

可以发现，除2外所有偶数消失了；接下来我匀继续划掉3的倍数，如下图：

其实3的倍数分布是有规律的，接下来我们划掉5的倍数，如下图：

最后划掉7的倍数，如下图：

此处可继续追问一下：是否还需要再划掉11的倍数？13的倍数？

这是个很有意思的追问，部分学有余力的孩子会很有兴趣知道为什么不再继续划下去，多数孩子会尝试一下，发现已经都被划掉了，就不再深究了，然而培养孩子的创新能力，有必要多问一句；

一位数乘两位数，最多三位数，而两位数乘两位数，至少三位数；我们已经找出的质数中，个位数只有4个，它们的倍数已经覆盖百数表中全部合数；而两位数的质数，如果另一个因数是个位数，那必然在已划掉的合数中，若另一个因数也是两位质数，则结果会超出100；

所以没必要继续划掉11、13等两位数的质数的倍数了.

解决第三个问题：为何找质数？

其实这个问题最浅显的答案，在最开始的拼长方形中，只能拼出一种形状的长方形，是拼出结果中比较特殊的形状，横放或竖放都是一样的，这种特殊性容易被五年级孩子接受；

接下来要说的是学生比较难理解，但更接近真实必要性的原因：

数学史话——质数

1963年，数学家乌拉姆在参加大学教学会议时感到无聊，便在纸上将已知的质数排成下图样式：

他随即用方块代表这些质数，绘制到一定规模之后，发现呈现出一组组的直线，于是他发现了一个令人难以置信的结果——质数的排列隐约呈现一定的规律！这些规律至今仍困扰着世界上最顶尖的数学天才们。这种质数方形螺旋因此被称为乌拉姆螺旋。

利用乌拉姆螺旋，我们可以很好地解释费马和欧拉发现的质数生成器。这类生成器实际上是方形螺旋图上的一条直线。虽然这条直线不能确保生成的全部都是质数，但相对于其他方向，它能生成更多的质数。例如，按照这一方法，我们可以简洁明了地构造一个质数生成器，如 。事实证明，这是一个高质量的质数生成器，其效果甚至优于欧拉的生成器。目前，在这张图上发现的最高效的质数生成器是下图这个样子：

这条线被称为质数黄金线，是目前发现的能生成最多质数的生成器。但它是否最高效？这仍是一个数学猜想，期待有人能证明。

当乌拉姆方形螺旋的研究成果传到德国后，德国数学家们露出了意味深长的笑容。他们问道：“兄弟，你是否听说过高斯？这个方法高斯在一百年前就已提出，而且他的方法更为高级。”

高斯的思路十分巧妙。最初，他试图在复平面上找到一个类似于整数的概念——负整数？

他提出了另一种定义：若负整数的模与辐角均为整数，则该数称为磨藏整数。

例如，数字1的表示形式如此，数字2的表示形式如此，依此类推。在此基础上，我们进一步定义负质数，例如3的表示形式如此，5的表示形式如此，等等。现在，我们将这些负质数逐一绘制出来。观察这些图形，它们呈现出螺旋线的形态。通过这种方式，我们可以研究质数在不同螺旋线上的分布规律。

高斯似乎打算沿着这一方向深入研究质数的分布。他是否会比黎曼早一步得出zeta函数？然而，我们低估了高斯在数学思维上的灵活性，这令人叹为观止。他并未继续深入质数分布的研究，而是思考：既然已经找到了负数的整数表达形式，那么如果研究的整数不是十进制，而是二进制、四进制、八进制或十二进制呢？

高斯直接采用了分圆法，因为表示一个单位圆。若要研究12进制，可将圆分成12份，类似于钟面。钟面上的每个刻度对应数字除以12的余数。因此，进制即同余，同余即进制。高斯瞬间将复平面分析与同余分析联系起来，使得我们可以用复分析研究同余问题，反之亦然。这一数学发现令人惊叹。

高斯将同一进制下不同余数的复数值相加，创造出了数论中极其重要的算法，后人称之为高斯和。高斯利用这一方法证明了数论中第一个奠基性定理——二次互反律。该方法后来被拉马努金的导师哈代握，并由此开创了数论的剑桥学派。哈代后来收了一位来自中国的学生，名为华罗庚。

华罗庚从哈代那里继承了高斯和这一工具，并且他运用高斯和的方法证明了完整三角和定理，该定理后来被称为华氏定理。

借此机会，再次强调，切勿低估华罗庚先生的成就。由于战争原因，他的成果当时仅限于国内传播。数论领域即便对顶级数学家而言也颇具挑战性。

当华罗庚的成果最终传入欧美后，立即引起轰动。他的证明被誉为臻于至善的证明。

中国还有一位天才数学家陈景润先生，在数论研究领域中同样取得了令世人瞩目的成就，在验证哥德巴赫猜想过程中取得了突破性进展。

正因为质数的规律发现如此困难，所以需要极强保密性的密码学，便有了足够坚实的根基。

质数很有必要研究下去，通过对它的研究，诞生了无数数学猜想、定理、推论，为我们今天的科技发展提供了足够的理论依据。

覃慧玲老师的这节课，并没有按照教材上的编排去设计，而是借鉴了深圳市数学特级教师、正高级教师，黄爱华老师的改编，从更抽象的数的角度去探索质数的奥秘，因为在前面几节课的教学中，我们大量采用了拼图方式，学生对图示已经有了初步的理解，可以在思维上更深入一些，以“数”研质数。

事实上北师大版教材，给使用老师们留下了足够宽阔的空间，在深入理解教材的基础上，允许进行大胆改编重组，作为一线教师，学习并模仿专家步伐，理解教学设计意图之后，也可以进行尝试这种改编与重组，这对个人教学水平的提升有极大促进作用。