《用初等方法研究数论文选集》连载 004. 证明a^2+1级数

《用初等方法研究数论文选集》连载 004

004. 证明a^2+1级数

这个猜想为：在级数a^2 + 1中，素数是否有无穷多个？这也是一个古老且著名的数论猜想。哈代和李特尔伍德曾进行过相关证明，还提出了一个猜想，但至今无人能够证明该猜想。

相关图示如下：

这也表明我的“Ktg - 空间理论”是由我首次发现的，处于世界领先水平。不然，这些大数学家们早就能够运用这个“由等差数列组构成正整数的结构空间，即Ltg - 空间理论”轻松证明该问题了。

通过书中叙述可知，这些世界一流数学家们研究方法的理论基础是“解析数论”。尽管已经取得了一定进展，但最终仍未能完成对该猜想的证明，其证明难度犹如天数一般。解析数论研究方法的基础理论，一是“高斯素数定理”，二是需要“黎曼猜想”的结果，三是要运用“欧拉素数乘积”。

看下图，

运用我的这一理论来解决数论中的一些古老猜想，其简单程度达到了令人难以置信的地步，因此必然会引发一些人的嫉妒与恐惧，这也情有可原，毕竟一些人一生的努力在这个理论的冲击下将化为泡影。

当然，我的证明并非数学专业范畴的，我只是提供一本科普读物，让大家了解有这么一种“数学思维”就足够了。

今天我用Ltg-空间理论中的2N+A(A=1、2)再次证明一遍这个猜想。

使用2N+A表格，表格如下：

这个空间由两个数列，即奇数数列 2N + 1 和偶数数列 2N + 2 构成，这两个数列能够表示所有正整数。

我们可以将奇数数列 2N + 1视为一个封闭空间，不受其他因素干扰，尤其要避免受到“解析数论”的影响，采用初等方法来解决这个问题。需要注意的是，我们能够把等差数列转化为函数，其理论依据就是初等函数的理论基础，要避免“把简单问题复杂化”。

1、奇数数列包含了除2以外的所有素数。

2、在这个空间中，合数和素数都有其固定的位置，素数并非随机出现。

3、奇数数列存在一个用于确定合适位置的“合数项公式”：

Nh = a(2b + 1) + b

其中，a和b均为项数，且a、b ≥1。

注意：合数项Nh是项数，将其代入2N + 1才是实际的数值。

4、相对地，存在一个素数项公式：

Ns = N - Nh （注意这个公式有一定特殊性，也可表示为Ns = N\Nh）

5、这两个公式涵盖了2N + 1上的所有位置，直至无穷大。

6、合数项公式在区间（0，∞）内满足条件且性质不变（初等函数）。

有了上述条件，我们证明级数a^2 + 1中存在无穷多个素数就极为简单了。

证明：

在表达式 a^2 + 1 中，只有当a^2为偶数时，a^2 + 1 才构成奇数数列。因此，设 a = 2k，则a^2= 4k^2，此时 a^2 + 1 可表示为 4k^2 + 1。

我们知道，在2N + 1 数列中的合数可被合数项公式Nh = a(2b + 1) + b 全面覆盖。只有当 4k^2 + 1 与Nh = a(2b + 1) + b 完全重合时，4k^2 + 1 才不会含有素数。

Nh = a(2b + 1) + b 的解是一组直线族（合数等差数列），而 4k^2 + 1 的图形是抛物线。无需证明，我们便可断定这两个公式永远不会重合。

所以，级数 a^2 + 1 中含有无穷多个素数。

证毕！

这个方法能够有效地应用于解决数论领域中一系列古老猜想相关的问题。这些猜想往往历史悠久，蕴含着丰富的数学内涵，而该方法为其提供了一种全新的解决途径，具有重要的理论价值和实践意义。通过深入挖掘数论问题的本质特征，这种方法展现出了强大的适应性和广泛的应用前景，为研究者们探索这些复杂难题提供了有力的支持。

李铁钢 2025年10月27日星期一 于保定市