实数的发展史：从毕达哥拉斯到斯泰芬

聊实数系统的历史发展前，咱们得先琢磨个问题：所谓的数，到底是什么？

你可能觉得这问题有点多余——数的概念不是明摆着的吗？但再仔细琢磨就会发现，数学发展到现在，数的概念已经变过好多次了，而且完全没理由认为，现在对数的理解未来不会再变。

哲学家维特根斯坦在《哲学研究》里写过一段特有意思的话，大概是说：

我们为啥会把某个东西叫做数呢？大概是因为它和之前已经被叫做数的几样东西有直接联系；而这种联系，又能让它和其他叫数的东西扯上间接关系。我们拓展数的概念，就像纺线时把一根纤维叠在另一根上拧起来似的。而且线的强度，不是靠某一根纤维撑起来的，而是靠好多纤维相互叠在一起。

要是有人非要较真：“这些被叫做数的东西肯定有共同点 —— 就是它们所有共同属性加起来的并集啊”，那我会回他：“你这就是在玩文字游戏了。这就好比说‘整根线里有个贯穿始终的东西 —— 就是那些纤维不断叠在一起的过程’一样，没啥意义。”

“行吧，那我就这么给你定义：数的概念，就是这些相互关联的具体概念（比如基数、有理数、实数等等）的逻辑和；同理，游戏的概念，也是一组对应子概念的逻辑和。”—— 但事情不一定非得这样。因为我可以给“数的概念”划上严格的界限，比如把数这个词限定在一个固定范围里用；但我也可以不这么做，让这个概念的范围不被一条边界封死。我们用“游戏”这个词的时候，就是这么用的。你想啊，游戏的概念到底有啥边界呢？

【遇见数学】：维特根斯坦的核心意思其实分三层：新数和已有的数是有关联的，像拧线那样不是一根到底；别硬找所有数的共同点；数不用划死边界的——以前不认负数，后来认了，未来还可能有新的数，不用死板限定。

要聊实数，得先看看古希腊人对“量”（magnitude）和“数”的理解。“量”通常指几何线段的长度，至于“数”，当时人们认为它是由“单位”组成的。

毕达哥拉斯不是提出“万物皆数”吗？那在他眼里，数到底长啥样？能看出来，他会用几何的方式理解 1、2、3、4……（也就是咱们现在说的自然数），但不是像我们这样把它们当成线段长度，而是看成一个个离散的点。

用这种表示方法，整数的加、减、乘都很自然，可除法的概念却没怎么出现。那时候的数学家看到 12，能轻松发现 4 是它的“约数”（submultiple）——因为 3 个 4 加起来正好是 12。虽然对我们来说，这明明就是除法，但看清其中的区别很重要。刚才咱们提到了“约数”，继承毕达哥拉斯传统的尼科马库斯（Nicomachus），是这么给“约数”下定义的：

约数，本质上是更小的那个数，当它和更大的数比较时，能正好量尽更大的那个数，而且量的次数不止一次。

因为“量”（magnitudes）和“数”是两回事，所以得单独给“量”下定义。尼科马库斯也给“量”做了类似的平行定义。

毕达哥拉斯“万物皆数”的想法，亚里士多德在《形而上学》里解释过：

（毕达哥拉斯那个年代）因为其他所有事物，从整体本性上看，似乎都有数的身影；而数似乎是自然中最本原的东西，所以他们认为数的元素就是万物的元素，整个世界就是一个音阶、一个数。他们能把数和音阶的所有属性，与天体的属性、部分和整体结构对上号，就把这些属性硬塞进自己的理论里……毕达哥拉斯学派说，事物本身就是数，因为它们有数的特征……毕达哥拉斯学派把对象本身当成数，不把数学对象和实际事物分开……

可一旦研究起各种“量”，这个“万物皆数”的概念就肯定出问题了。就像咱们看到的，数本质上是（正整数）单位的倍数，但线段的比，却不一定是整数的比。最经典的例子就是等腰直角三角形：两条直角边都是单位长度的话，斜边长度就是直角边的 倍，可你根本找不出一个长度 ，能让 1 和 都是 的整数倍。

西奥多罗斯螺旋

柏拉图在《泰阿泰德篇》里提到，西奥多罗斯（Theodorus）证明了 、 …… 和 1“不可公度”（incommensurable，也就是没法用同一个单位量尽）：

西奥多罗斯给我们写了些关于“根”的内容，比如面积为 3 或 5 单位的正方形的边，他证明这些边和单位长度不可公度；他举的例子到 17 就停了，也不知道为啥。

咱们不妨猜一下， 和 1 不可公度的发现应该更早，所以西奥多罗斯才从 开始证明。海莫宁（Heimonen）在文献[10]里，就探讨过不同历史学家对无理数发现的看法：

冯·弗里茨（Von Fritz）提出，毕达哥拉斯学派的希帕索斯（Hippasos）先通过研究正五边形，证明了黄金比例的无理性——证明的依据是，正五边形对角线与边长的连分数展开是周期的。

策乌滕（Zeuthen）和范德瓦尔登（van der Waerden）也用类似的无理性证明思路，分析了正方形对角线与边长的比，还有、……（柏拉图说西奥多罗斯证明了它们的无理性）。

诺尔（Knorr）则提出了新理论，试图解释西奥多罗斯为啥刚好在那里停下。他的理论有点像学校里学的无理性证明的几何版本。

福勒（Fowler）接受了诺尔的核心观点，但又把话题拉回连分数，甚至认为柏拉图时代连普通分数，都是用连分数来处理的。

不过在继续讲数的概念进展前，得提一嘴：埃及人和巴比伦人对数的理解，跟古希腊人完全不一样。巴比伦人老早就研究倒数了，还会算无理数（比如 ）的近似值，这比希腊数学家考虑“近似”要早得多。埃及人也研究过无理数的近似。

现在咱们看看欧几里得《几何原本》里的情况，这可是个关键阶段——因为接下来近 2000 年里，数学发展基本都受它影响。第五卷里，欧几里得专门讨论“量”和它的比例理论。大家猜测，这部分其实是欧多克索斯（Eudoxus）的研究成果，后来的《几何原本》版本也印证了这一点。通常，欧几里得要说明关于“量”的定理时，会画线段示意图来代表量，但对他来说，“量”是个抽象概念，不光能表示线、面、体，连时间和角都能涵盖。

欧几里得以公理化方法闻名，按理说他该先定义“量”，再列些不用证明的公理。可他没直接定义“量”，只给了前两个定义，分别关于“量的部分”和“量的倍数”：

• 定义 V.1：当较小的量能“量尽”较大的量时，较小的量是较大的量的一部分。

这里的“量尽”没明确定义，但欧几里得的意思其实很清楚，用现代符号表示就是：如果存在大于 1 的自然数 ，能让 ，那较小的量 就是较大的量 的一部分。

• 定义 V.2：当较大的量能被较小的量“量尽”时，较大的量是较小的量的倍数。

然后是“比例”的定义：

• 定义 V.3：比例是同类两个量在大小方面的一种关系。

这个定义特别模糊，几乎等于没定义。接着他又定义了“两个量有比例”的情况：只有当第一个量的某个整数倍能超过第二个量，同时第二个量的某个整数倍也能超过第一个量时，这两个量才有比例。

再往下就是最关键的定义——两个量与另外两个量成相同比例。欧几里得的表述本来很难懂，咱们翻译成现代符号就清楚了：说 ，当且仅当对任意自然数 和 ，都满足：

• 当且仅当 ；

• 当且仅当 ；

• 当且仅当 。

欧几里得接下来证明的定理，在现代数学家看来，差不多就像把“量”当成向量、把“整数”当成标量，然后在证明向量空间的公理似的。比如对“量” 、 和自然数 、 ，他证明了：

• 命题 V.1： ；

• 命题 V.2： ；

• 命题 V.3： 。

第七卷里，欧几里得开始研究“数”。他列了一系列定义：先定义“单位”，然后把数定义为由许多单位组成的集合，“部分”和“倍数”的定义也跟“量”的类似。这里要留意，欧几里得跟之前的希腊数学家一样，不把 1 当成“数”——1 是“单位”，真正的“数”是 2、3、4……这些由单位组成的集合。

数的各种性质其实都被默认了，只是没作为公理列出来。比如乘法交换律，欧几里得用的时候从没把它当公理提过，加法结合律也是这样。然后他引入“数的比例”，本质上是想说明：对“数” 、 、 、 ， 当且仅当“以 为比例的最小数对”，和“以 为比例的最小数对”是相等的。用现代话说就是：有理数 和 ，只要约分后相等，它们就相等。

第七卷里还有个重要成果——欧几里得算法。这里还要留意，欧几里得从没把“ ”的比例和“数 2”画等号，这俩是完全不同的概念。

第十卷专门讨论“可公度”和“不可公度”的量，这一卷特别长，篇幅占了《几何原本》的四分之一还多。相关定义是：

• 定义 X.1：能被同一个量度量的量，叫可公度的(commensurable)；不能被任何公共量度量的，叫不可公度的(incommensurable)。

欧几里得证明了这些结论：

• 命题 X.2：若把两个不等的量摆出来，从较大的量里依次减去较小的量，余数永远没法度量前面的量，那这两个量就是不可公度的。

• 命题 X.5：可公度的量之间的比，是数与数的比。

这里要说明的是，命题 X.2 的意思其实是：如果用欧几里得算法算下来不终止，那这两个量就是不可公度的。欧几里得接着还证明了好多结论，其中就包括西奥多罗斯的成果——长度为 、 …… 的线段，和单位长度的线段不可公度。

那《几何原本》到底把“数”的概念定格在哪了？简单说就是：“数”就是 1、2、3……；“数的比”虽然不被当成“数”，但其实能处理咱们现在说的“有理数”运算；而“量”，本质上是用尺规从单位长度出发能构造出的长度——换句话说，按现代眼光看，就是用正整数通过加、减、乘、除和开平方算出来的长度。其他类型的“量”，欧几里得压根没考虑。

阿拉伯数学家在“可构造的量”上走得更远，他们会用几何方法解三次方程，这就意味着能构造出这样的量：它和单位长度的比里会涉及“立方根”。比如奥马尔·哈亚姆（Omar Khayyam），就用几何方法解了所有三次方程。斐波那契（Fibonacci）从阿拉伯人那学了这技巧，解一个三次方程时发现，这个方程的根没法用欧几里得的“量”表示——因为它不能用有理数和平方根组合出来——于是他就去算近似解。

虽然概念上没什么突破，但到了 15 世纪末，数学家开始研究用正整数通过加、减、乘、除和开 次方得到的表达式——这就是“根式”（radical expressions）。

迈克尔·斯蒂费尔(1487 年－1567 年 4 月 19 日)

到了 16 世纪，有理数和“数的根”渐渐被当成“数”接受了，不过不同类型的数还是分得清清楚楚。斯蒂费尔（Stifel）在 1544 年的《整数算术》里，就纠结过一个问题：无理数到底是“真数”还是“假数”？

他写道：“人们总在争论无理数是真数还是假数。因为研究几何图形时，有理数根本不够用，这时候无理数就顶上来了，还能精确展示有理数做不到的事……所以我们不得不承认它们是对的……”

可他接着又说，因为无理数和有理数不成比例，所以就算它们是“对的”，也算不上“真数”。最后他得出结论：所有无理数都来自“根式”。

你可能会问斯蒂费尔：“那单位半径的圆，它的周长长度算什么呢？”其实斯蒂费尔在书的附录里回答了这个问题。他先把物理圆和数学圆区分开：物理圆的属性能直接测量，数学圆却没法用物理工具测。接着他提出，数学圆其实就是边数无穷多的多边形的极限，还写道：

所以，数学圆被正确描述为“边数无穷多的多边形”。因此，数学圆的周长得不到任何数——不管是有理数还是无理数。

这个论证虽然不咋地，但想法挺厉害——他居然意识到，存在这样的长度：它不对应任何“根式”，却能做到想多近似就多近似。

1585 年，斯泰芬（Stevin）在《论十进》里引入了“十进制分数”。不过得说明的是，这事儿其实有点歪打正着：他发明这符号的时候，根本没想着要深化对数的理解。那时候只允许有限小数，所以只有一部分有理数能精确表示，剩下的有理数只能用近似值。斯泰芬把这个系统当成计算近似有理数的工具，他的符号被克拉维乌斯（Clavius）和纳皮尔（Napier）采纳了，可也有人抵制——因为这系统连 都没法精确表示，让人觉得是种倒退。

斯泰芬在 1585 年的《算术》里还有个重要突破：他强烈主张，要把平方根、无理数、根式、负数这些都当成数，别再去区分它们的本质。他还专门写了四个论点来支撑这个想法：

1. 单位（unity）是一个数；

2. 任何给定的数都可以是平方数、立方数、四次方数等；

3. 任何给定的根都是一个数；

4. 没有“荒谬的、无理的、不规则的、无法解释的或根式的数”。

他还说：“算术书作者们总爱把 这类数叫做‘荒谬的、无理的、不规则的、无法解释的或根式的数’，但我们否认这种说法——因为数就是数。”

他的第一个论点，就是反对希腊人那套“1 不是数，只是单位，数是 2、3、4……这些由单位组成的东西”的观点。后三个论点呢，则是鼓励大家把当时被分开看待的不同数，都当成同一类东西——也就是数本身。

斯泰芬在《算术》里还有段话值得记下来，他注意到欧几里得第十卷的命题 X.2 是这么说的：“两个量不可公度，当且仅当欧几里得算法不终止。”斯泰芬评论说，这其实就是咱们现在说的“算法”和“过程（或半算法）”的区别：

“虽然这定理是对的，但咱们没法通过实际操作来判断两个给定的量是不是不可公度。……就算我们能按流程减几百几千万次，甚至连续减上几千年，可要是这两个量真的不可公度，人就得永远忙下去，永远不知道最后会咋样。所以这种认知方式不合法，根本行不通。”

实数的进一步发展，得等“收敛”的概念被牢固建立起来才行。但反过来讲，严谨分析的进展也需要人们对实数有更深的理解——这部分内容，咱们留到下一篇《实数：从斯泰芬到希尔伯特》里再细聊。

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来源：遇见数学

编辑：韶音

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