盒子太小装不下？那就再挤挤？

引言

本文从一道简单的美国中学生数学竞赛(AMC)试题展开，通过联想其在现实生产生活中的应用场景并引发思考，进而将一类经典的优化问题及结论呈现在读者眼前.

一道题

试题

2019 AMC 12A 第 10 题

下图中 个半径为 的小圆排列在一个大圆之内, 所有的交点都是切点. 问: 阴影部分的面积, 即大圆之内小圆之外的面积, 是多少？

由橘子数学开源题库社区成员Void NULL翻译

中秋节引发的联想

值此中秋佳节，看完这道数学题，会联想到什么呢？

那么将问题翻译成一个具有现实背景的应用题:

现将13块半径相同的月饼以下图方式摆放在一个圆形包装盒内, 假设月饼半径为 , 求月饼盒的半径.

￪￪￪感谢慕容玖老师为这道试题制作了解答视频

老君的疑问

那么在计算出如上摆放情况下的大圆半径后， 抠门到吝啬包装材料 精益求精、追求卓越的老君，很自然地想到了这样一个问题：

这样的摆放是不是最优的摆放？

能不能找到一个更小的大圆装下这13个小圆且能保证它们两两不重叠？

13个等圆的最优摆放

于是老君在google、wikipedia百度找到了相关结论：

方案A

方案B

Fodor [^1] 在2003年证明了包含两两不重叠的单位圆的最小大圆半径为 ，且小圆的最优摆放有如上两种方案，两种方案大圆的半径是一致的.

[^1]:F. Fodor, The Densest Packing of 13 Congruent Circles in a Circle, Beiträge zur Algebra und Geometrie, Contributions to Algebra and Geometry 44 (2003) 2, 431–440.

方案B的摆放

下文将简单介绍方案B的摆放方式，并求出此时的大圆的半径:

首先将10个小圆两两外切围成一圈，然后将余下3个小圆置入圈内，我们看到3个小圆位置可以在一定范围内自由活动.

要得到大圆半径，只要考虑外围10个小圆即可.

连结10个小圆的圆心可得一个边长为2的正10边形，其与大圆具有相同的几何中心，大圆半径等于中心到小圆圆心（正10边形的顶点）的距离加小圆半径1. 所以只需要再求出正10边形顶点到中心的距离即可.

连结圆点与相邻两个顶点，过中心做边上的高，由等腰三角形三线合一，可通过直角三角形OAB，求出顶点A到中心O的距离为 ，故可得大圆半径为 .

思考题

能否计算得到以方案A摆放时大圆的半径呢？

推而广之

如果将 个小圆推广到 个小圆，那么就是经典的等圆包装问题了.

平面圆内等圆包装问题: 找到半径最小的圆，使 个半径为 且两两不相交的圆都在其内部或与其内切.

巨人的肩膀

这个问题最早于1960年代提出并在当时解决了 较小( )情况，直到2000年左右，随着计算机算力的大幅提升，使得很多优化算法得以实现，包装问题自此得到了极大的发展.

0202年，任何一台个人计算机跑一段小程序就可以轻松得到圆内等圆包装的最优解[^2].

由其衍生的一大批更复杂的问题借助计算机得到了解决，比如方形容器的等圆包装问题，网上已经有一个数据库提供查询 时的最优结果[^3]，不相等圆的包装问题[^4].

来源：橘子数学

编辑：丁香叶子

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