枚举几何新数学复苏几何学最古老的问题

一组数学家利用一个相对年轻的理论——枚举几何，开始解答数学早期的一些问题。

图源：Kristina Armitage/Quanta Magazine

作者：Joseph Howlett（量子杂志特约撰稿人）2025-9-26

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2025-9-28

历史背景入门简介

公元前三世纪，佩尔加的阿波罗尼乌斯（Apollonius of Perga）问道，可以画出多少个圆出来，使得与给定3个圆恰好相切于一点。答案花了1800年才得到证明：8个。

这类问题，即求满足一组几何条件的解的数量，是古希腊人最喜爱的。几千年来，它们一直吸引着数学家们。三次曲面上有多少条直线？五次曲面上有多少条二次曲线？（分别为 27 条和 609250 条。）“这些问题真的很难，但理解起来却很容易，”伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校的数学家谢尔顿·卡茨（Sheldon Katz）说道。

随着数学的发展，数学家们想要计数的对象变得越来越复杂。它成为了一个独立的研究领域，被称为枚举几何（enumerative geometry）。

数学家们能提出的枚举几何问题似乎无穷无尽。但到了20世纪中叶，数学家们开始失去兴趣。几何学家们不再局限于具体的计数问题，而是专注于更普遍的抽象概念和更深层次的真理。除了1990年代的短暂复兴外，枚举几何似乎已被彻底搁置。

谢尔顿·卡茨 (Sheldon Katz) 对枚举几何和弦理论问题之间的联系很感兴趣。

图源：Fred Zwicky

这种情况现在可能正在开始改变。一小群数学家找到了将一个已有数十年历史的理论应用于枚举问题的方法。研究人员不仅为原始问题提供了解决方案，还为这些问题在无限多奇异数系中的版本提供了解决方案。“如果一件事你做过一次，那会令人印象深刻，”斯坦福大学数学家 Ravi Vakil 说道。“如果你反复做，它就成了理论。”

这一理论帮助复兴了枚举几何领域，并将其与代数、拓扑学和数论等其他研究领域联系起来，赋予了它新的深度和魅力。这项工作也为数学家们提供了对各种重要数系的新见解，远远超出了他们最熟悉的数系。

与此同时，这些结果在解答问题的同时也引发了同样多的问题。该理论不仅给出了数学家们寻求的数字，也提供了他们难以解释的额外信息。

这一谜团激发了新一代人才的参与。他们携手将计数带入21世纪。

向前计数

所有枚举几何问题本质上都归结为计算空间中的对象数量。但即使是最简单的例子，也可能很快变得复杂。

假设在一张纸上有两个相距一定距离的圆。你能画出多少条直线，使它们恰好与每个圆相切一次？答案是4条：

图源：Mark Belan/Quanta Magazine

你可以把这两个圆拉远，或者把其中一个圆缩小一半，答案都不会改变。但是，如果移动一个圆，让它像维恩图那样与另一个圆相交，答案就会突然改变——从4变成2。把较小的圆完全滑进较大的圆里，答案就变成了0：你无法画出任何只与这两个圆相切一次的直线。

这种不一致确实很麻烦。在这个例子中，只有三种不同的配置需要考虑，但问题往往过于复杂，研究人员无法逐一分析所有可能的情况。你可能找到了一种情况的答案，但你根本不知道当情况发生变化时，答案会发生怎样的变化。

在实践中，数学家们会尝试将问题的几何约束写成一系列方程，然后找出有多少个解能够同时满足所有这些方程。尽管他们知道解的数量不会一直保持一致，但他们写下的方程的本质并没有任何迹象表明他们是否偶然发现了一个能够得出不同答案的新配置。

有一个例外——当问题用复数定义时。复数由两部分组成：“实部”，即一个普通的数；以及“虚部”，即一个普通数乘以 −1 的平方根（数学家称之为 i ）。

在上面的圆和直线的例子中，如果你询问方程的复数解的数量，无论你看什么排列，你总会得到答案4。

大约在1900年，数学家们已经开发出一些技术来解决复数域中任何枚举几何问题。这些技术无需考虑不同的配置：无论数学家得到什么答案，他们都知道对于每种配置，答案都必然成立。

数学中最古老的问题之一

古希腊数学家阿波罗尼乌斯曾问过，有多少个圆与三个给定的圆相切。数学家们花了近两千年的时间才证明答案是8个。

图源：Mark Belan/Quanta Magazine

但是，当数学家只想求枚举几何问题中方程的实数解的数量，或者整数解的数量时，这些方法就不再有效了。如果他们在复数系统以外的任何数系中求解枚举几何问题，矛盾之处又会再次出现。在这些其他数系中，数学家无法系统地解决枚举问题。

与此同时，当数学家们将研究范围局限于整数或实数时，他们所遇到的答案往往神秘、变化莫测，这使得枚举问题成为探索其他数系的绝佳途径——从而更好地理解它们之间的差异以及它们内部的对象。数学家们认为，开发处理这些情况的方法将开辟新的、更深层次的数学领域。

其中就包括数学巨匠大卫·希尔伯特（David Hilbert）。当他列出他认为20世纪最重要的未解问题时，其中就包括了如何使枚举几何问题的求解技术更加严谨。

1960和70年代，亚历山大·格罗滕迪克（Alexander Grothendieck）及其后继者发展了新颖的概念工具，帮助解决了希尔伯特问题，并为现代代数几何领域奠定了基础。由于这些概念过于抽象，非专业人士难以理解，但数学家们试图理解它们，而最终放弃了枚举几何。与此同时，当涉及到其他数系中的枚举几何问题时，“我们的技术却碰壁了，”卡茨说道。枚举几何从未成为希尔伯特设想中的灯塔；相反，其他研究方向照亮了数学家们的道路。

公元前三世纪，佩尔加的阿波罗尼乌斯（Apollonius of Perga）

枚举几何不再是一个核心且活跃的研究领域。卡茨回忆说，1980年代，作为一名年轻的教授，他曾被警告远离这门学科，“因为它对我的职业生涯不利”。

但几年后，弦理论的发展暂时让枚举几何重获新生。弦理论中的许多问题可以用计数来表述：弦理论家们想要找到某种类型的不同曲线的数量，这种曲线代表了弦的运动——弦是10维空间中的一维对象，他们认为弦构成了宇宙的基石。卡茨说，枚举几何“再次变得非常流行”。

但这只是昙花一现。一旦物理学家们解答了他们的问题，他们就继续前进。数学家们仍然缺乏其他数系中枚举几何问题的通用框架，也对此兴趣不大。其他领域似乎更容易理解。

情况一直如此，直到数学家克尔斯滕·维克格伦 （Kirsten Wickelgren）和 杰西·卡斯（Jesse Kass） 突然意识到：枚举几何可能提供希尔伯特所希望的那种深刻见解。

鸟瞰图

卡斯和维克格伦在2000年代末相识，并很快成为了长期的合作伙伴。在很多方面，他们的举止截然不同。维克格伦热情洋溢，但又克制而谨慎。每当我请她确认我是否理解正确时，她都会停顿片刻，然后坚定地回答“是的，请继续”——这是她表达“完全正确，你明白了！”的方式。而卡斯则显得带有紧张感的热情。他很容易激动，而且语速飞快。

克尔斯滕·维克格伦（Kirsten Wickelgren）一直在使用一套复杂的数学技术来探索数字的基本性质。

图源：Joseph Rabinoff

但卡斯和维克格伦合作得很好，并且有很多共同的兴趣——包括热衷于将几何学的影响力扩展到其他领域。

2015 年，卡斯路过维克格伦居住的亚特兰大，决定向她倾诉他最新痴迷的事情：他想重新审视受限数系中的枚举问题，这是一项长期被放弃的尝试。

他带来了一堆看似相关的零散想法和旧论文。“我意识到这是一个不切实际的项目，”卡斯说。“她非常礼貌地向我解释，说我所有的答案都是胡扯。”然后他提到了1977年的一个结果，突然“灵光一闪”。

在 1977 年的那篇论文中，数学家哈罗德·莱文（Harold Levine）和戴维·艾森巴德（David Eisenbud）正在推导一个涉及计数的证明 https://annals.math.princeton.edu/1977/106-1/p02 。最终他们得到了一种称为二次型（quadratic form）的特殊表达式——一种简单的多项式，其中每一项的指数之和始终为 2，例如 x²+ y² ，或 z² − x²+ 3yz 之类。

艾森巴德和莱文意识到，他们感兴趣的计数其实隐藏在显而易见的地方。答案就在于这个形式的“符号差”（signature）：正项的数量减去负项的数量。（例如，二次型 z² − x² + 3yz 有两个正项 z² 和 3yz ，以及一个负项 x² ，因此它的符号差是 2 − 1，即 1。）

这便是维克格伦的灵感来源。自艾森巴德和莱文发表他们的证明以来的几十年里，数学家们设计了一个看似毫不相关的框架，名为动机同伦理论（motivic homotopy theory）。该框架将方程的解视为特殊的数学空间，并研究它们之间的关系，既复杂又强大。此外，它还为数学家提供了一种使用特定类型的二次型来描述这些关系的方法。

杰西·卡斯（Jesse Kass）在追求他所谓的“一种不切实际的项目”的同时，帮助重新激发了人们对数学中最古老的问题类型之一的兴趣。

图源：Caroyn Lagattuta

听着卡斯的解释，维克格伦立刻意识到艾森巴德和莱文提出了其中一种形式。数学家们一直在不知不觉地研究动机同伦理论——而这给了他们一直在寻找的答案。

虽然艾森巴德和莱文研究的并非枚举几何问题，但其性质却足够相似——毕竟也涉及计数——这引发了卡斯和维克格伦的思考。或许他们也可以利用动机同伦理论的框架来解决自己的计数问题。而且，由于动机同伦理论可以广泛应用于任何数系，或许它能够解开那些长期以来困扰数学家的枚举几何问题。

更深入的视角

请记住，枚举几何问题通常涉及寻找满足一组方程的解的数量。卡斯和维克格伦的见解并非试图直接求解这些方程——除了复数之外，这种方法很少在其他情况下奏效。相反，他们两人将给定的枚举几何问题（以给定的数系为背景）改写为方程空间和描述这些空间之间关系的函数。

问题这样重新表述后，他们就可以应用动机同伦理论了。这使得他们能够计算出一个二次型。现在，他们必须弄清楚这个二次型包含了哪些有关原始问题的信息。

他们意识到，当处理复数时，只需计算出他们计算出的二次型中不同变量的数量即可。这个数字就给出了枚举几何问题的解的数量。当然，这对他们来说并不特别有趣：数学家们已经有了很好的方法来得到这个答案。

于是他们转向了其他数系。对于实数来说，事情变得有点棘手。一旦他们在这种情况下计算了二次型，就必须查看它的符号差。而符号差并没有给出精确的答案：它给出了答案的最小值。也就是说，对于任何涉及实数的枚举几何问题，他们都有办法计算下限——这是一个很好的起点。

但最令人兴奋的是，当他们计算其他更陌生的数系的二次型时，他们也能收集到重要的信息。以一个基于所谓时钟算法的七数循环系统为例：在这样的系统中，7 + 1 等于 1，而不是 8。在这个系统中，他们将二次型重写为一个称为矩阵（matrix）的数字数组。然后，他们计算了一个称为行列式（determinant）的量，并证明虽然行列式不能告诉他们解的总数，但它确实告诉了他们其中具有某些几何性质的解的比例。

2017年，卡斯和维克尔格伦证明了枚举几何最著名的定理之一：三次曲面最多包含 27 条直线。 他们利用新方法 https://arxiv.org/abs/1708.01175 ，证明了复数系中的答案确实是27。他们复制了实数的已知下界，并为每个有限数系提供了新的数值信息。所有这些都包含在一个包中。

一个著名的数学定理指出，在光滑的三次曲面上总是可以画出 27 条直线——三次表面是由最大指数为 3 的方程定义的扭曲形状。

视频源：Rectas/知识共享

这是数学家们首次能够对复数系和实数系以外的枚举几何问题做出重要论述。此外，尽管问题的答案可能会根据数系及其内部形状的配置而变化，但数学家们首次找到了一个能够涵盖所有潜在不同答案的理论。

“这不仅仅关乎实数或复数，”维克格伦说，“它们只是某个结果在任何数系中都成立的特殊情况。”

而这仅仅是个开始。

新的开始

在此后的几年里，维克格伦、卡斯等人利用动机同伦理论重新构建了许多其他枚举问题，推导出各种数系中相关的二次型。

“所有几何构造过去都是为了给人们提供整数答案，”杜伊斯堡-埃森大学的数学家马克·莱文 (Marc Levine) 说道，他一直在独立探索相同的想法 https://arxiv.org/abs/1703.03049 。“现在你可以输入[问题]，然后得到一个能给出二次型答案的东西。”

自卡斯和维克格伦的原创性工作以来，数学家们在理解二次型在不同数系中能提供哪些信息方面取得了很大进展。然而，有时他们并不确定应该在二次型中寻找什么。“我们仍然有点困惑它到底告诉你什么，”莱文说。还有很多东西有待解读。

“目前，”南加州大学的阿拉温德·阿索克（Aravind Asok）说，试图从二次型中收集关于枚举几何问题的信息“已经成为一个完整的产业”。他补充道，这种方法具体易懂，吸引了年轻数学家的注意。“这很令人兴奋，因为学生们可以很快地接触到一些有干货的东西。”

在当今抽象的数学领域，如此具体化实属罕见。“数学的抽象程度不断提升，有时我甚至感觉自己都不知道自己在说什么了，” 萨布丽娜·保利（Sabrina Pauli）说道 ，她是威克格伦的第一位研究生，现在是德国达姆施塔特工业大学的教授。但这个新的研究领域让她能够将这种高度抽象的概念重新带回现实。

Wickelgren、Kass、Levine 等人最近使用他们的技术重新审视了与弦理论相关的枚举问题 https://arxiv.org/abs/2307.01936 ——但采用了新的数系和设置。

在所有这些案例中，数学家们找到了一种新方法来探索点、线、圆以及更复杂的对象在不同数值环境下的不同表现。卡斯和维克格伦复兴的枚举几何，为我们提供了一个意想不到的视角，让我们得以窥见数字的本质结构。“我很难不被一张纸上有多少条有理曲线这个问题所吸引，”维克格伦说，“这是一张纸的数学实在性的一个基本组成部分。”

参考资料

https://www.quantamagazine.org/new-math-revives-geometrys-oldest-problems-20250926/

https://annals.math.princeton.edu/1977/106-1/p02

https://arxiv.org/abs/1708.01175

https://arxiv.org/abs/1703.03049

https://arxiv.org/abs/2307.01936