从小学的乘法交换律也是不成立的？

最近一则小学数学教学引发热议，其中新教材下3×8≠8×3的情况违反我们的直觉。

这样的现象出现其实源于对乘数和被乘数的定义，在小学数学的语境中，3×8其实对应着“一个人有3个苹果，现在一共有8个人”，而8×3则对应“一个人有8个苹果，现在一共有3个人”。

图文无关....

在数学的广阔天地中，运算的顺序有时无关紧要，有时却决定一切。我们从小就熟知 3 + 5 等于 5 + 3，这种运算顺序的可交换性看似理所当然，但它实际上是通往两类深刻数学结构——阿贝尔群与非阿贝尔群——的分水岭。

用更数学的角度来考虑，其实乘法交换律是否成立更根本的本质，是该运算下群是否构成的阿贝尔群。而其实很多的数学理论中的乘法运算是不满足交换律的，接下来就跟着小编一起去看看走近非阿贝尔群的世界！

从小学乘法开始

小学学到的乘法交换律是定义在自然数的数域内。对于自然数，我们要想严格得乘法交换律的证明是，我们要从皮亚诺公理开始。

皮亚诺公理给出了自然数形式化的定义。如果感兴趣的朋友不难发现，皮亚诺公理的定义有着归纳递推的思想，沿着这个思想可以得到加法和乘法的定义：

1. 对于任何正整数a，定义a×1 =a。

2. 对于任何正整数a和b，定义a×（b+1）= a×b+a。

在此定义下我们分别可以推导得到乘法分配律和乘法交换律，感兴趣的同学可以看看下图给出的推导思路。

原图：

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/34/Inductive_proofs_of_properties_of_add%2C_mult_from_recursive_definitions_svg.svg

从小学到高中我们都沿着乘法交换律的路学习着数学知识，教科书上的数学内容也都是在交换律成立的范围内，直到遇到了高中物理所学到的带电粒子在磁场中的受力公式：

这里用到的就是向量运算中的叉乘，这类运算是不符合乘法交换律的。

而向量的叉乘运算为， ,向量大小满足： ，向量叉乘的积仍为向量，其方向根据右手螺旋定则确定。

虽然在教科书中没有详细叙述叉乘，但是依然让当年的小编萌生不少疑问。

而进一步大学教授的矩阵运算更是违犯交换律最好的例子，这也揭开了非阿贝尔群的面纱。

进入群的世界

在深入探讨差异之前，我们首先需要理解它们共同的身份：群。在抽象代数中，一个群是一个集合及其上定义的一种运算的组合，这个组合必须满足四个基本规则，以确保其结构是稳定和自洽的：

封闭性：集合中任意两个元素通过该运算得到的结果，仍然是这个集合的成员。

结合律：(a × b) × c 的结果与 a × (b × c) 相同，运算的组合顺序不影响最终结果。

单位元：集合中存在一个单位元，任何元素与它运算都保持不变（例如，加法中的0 或乘法中的 1）。

逆元：对于集合中的每一个元素，都存在一个与之对应的“抵消”元素，两者运算后会得到单位元（例如，a 的逆元是 -a，因为 a + (-a) = 0 ）。

同时满足这四条公理的系统，就是一个“群”。它为数学家提供了一个研究对称性和变换的强大框架。

当一个群的运算不仅满足以上四条规则，还满足交换律(a * b = b * a) 时，它就被称为阿贝尔群（或交换群），以纪念挪威数学家尼尔斯·阿贝尔。

阿贝尔和椭圆函数理论

阿贝尔群在数学中无处不在，例如：

整数加法群 (ℤ, +)：所有整数在加法下构成一个完美的阿贝尔群。

非零实数乘法群 (ℝ*, *)：所有非零的实数在乘法下同样构成阿贝尔群。

当交换律被打破，即群中至少存在一对元素使得 a * b ≠ b * a，我们就进入了非阿贝尔群的领域。这些群描述了更加复杂、顺序至关重要的现象。

最直观的例子来自于矩阵和几何变换：

• 一般线性群 GL(n, ℝ)：所有 n×n 可逆实数矩阵在矩阵乘法下构成的群。当 n≥2 时，这是一个经典的非阿贝尔群，因为矩阵乘法通常不满足交换律。

• 三维旋转群 SO(3)：我们生活的三维空间中，所有绕原点的旋转操作构成一个非阿贝尔群。将一个物体先绕 X 轴旋转90度再绕 Y 轴旋转90度，与先绕 Y 轴再绕 X 轴旋转，物体的最终朝向是截然不同的。

在实际各个领域非阿贝尔群也有非常重要的作用。

在粒子物理学中，描述基本力的标准模型完全建立在非阿贝尔的规范群之上。例如，传递强相互作用（将夸克绑定在一起）的 SU(3) 群和传递弱相互作用（引起放射性衰变）的 SU(2) 群都是非阿贝尔的。它们的非交换性直接导致了传递力的粒子（如胶子和W/Z玻色子）之间会相互作用，这是构成我们物质世界的关键特性。

图源：百度百科

在机器人学和计算机图形学中，SO(3) 群被用来精确计算和描述三维空间中物体的姿态和运动轨迹，其非交换性是处理复杂运动规划和避免“万向节死锁”等问题的核心。

再看看生活

其实运算非交换在生活中非常常见。想象一下，你正在执行一个任务清单，上面有两件事：吃早餐和刷牙。你先吃早餐再刷牙，和你先刷牙再吃早餐，最终的结果显然是不同的。

没有魔方可以对着这个想象...

如果手边有一个魔方可以尝试最直观的非阿贝尔群变换。分别对魔方进行两个不同方向的操作A和B，分别执行先A后B和先B后A，你会惊讶地发现，两种顺序执行完，魔方呈现的颜色状态是完全不同的，魔方的所有可能操作，就构成了一个庞大而复杂的非阿贝尔群，进而可以想象一下三维空间的旋转操作也是非阿贝尔的。

所以说下次说到乘法分配律不成立也不要惊讶，先问问运算定义是什么，再问问乘法作用在什么样的数域上。

--End--

参考文献：

[1]Gallian, J. A. (2020). Contemporary Abstract Algebra (10th ed.). Cengage Learning.

[2]李新征. 群论及其在凝聚态物理中的应用[M]. 北京大学出版社, 2019.

[4]https://cameroncounts.wordpress.com/2011/09/21/the-commutative-law/

[5]https://www.zhihu.com/question/285971671

编辑：十一