向量数据库：两种度量空间？一个算法搞定！

向量检索算法，作为AI时代基础设施——向量数据库的核心组件，已被广泛应用于各类由AI模型驱动的搜索场景中，例如推荐系统召回、搜索引擎召回、以图搜图、语音检索、人脸识别与匹配、RAG（Retrieval-Augmented Generation）等。

然而，深入了解相关研究进展后我们会发现，当前面向最小欧式距离（Minimal Euclidean distance）检索和面向最大内积（Maximum Inner Product）检索的算法之间，存在一条难以跨越的技术鸿沟。这种割裂，正是许多朋友向我吐槽“向量检索门槛太高”的根本原因之一。

大多数使用向量数据库的用户，其实并不关心生成向量的AI模型是如何训练的，也不太在意该选择什么样的模型架构或向量度量方式——他们只想知道一件事：到底该用哪种算法、哪种度量方式，效果最好？

但当用户去查阅资料或请教研究者时，得到的回答往往是：“这个模型适合用欧式距离”、“那个模型用最大内积效果更好”，甚至进一步细分到图类算法、量化算法、哈希算法……算法种类五花八门，度量方式也各有差异，面对动辄上亿级的数据量，用户自然难免感到无从下手：总不能让我一个个算法都试一遍吧？

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一个为欧式距离量身定制的“索引”

幸运的是，我们在持续的研究探索中，逐渐找到了弥合欧式度量和内积度量鸿沟的“粘合剂”——

在前不久针对我们VLDB2025的新工作PSP的介绍中，我们从理论上证明了：一个为欧式距离量身定制的“索引”（用来存储向量数据的一种数据结构），也可以用非常小的改动，来适应最大内积检索这个目标， 但这显然不是针对内积最优化的选择。

我们追求的目标就是，在“欧式”到“内积”的悬崖间，架起一座桥。

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方法论

要实现这个目标，难度不小。在设计一种兼容式的向量检索算法之前，我们首先要对齐不同度量空间下，数据结构的拓扑逻辑：我们希望能用一种统一的数据结构实现存储，并且用统一的算法逻辑进行向量检索。总不能像“瑞士军刀”一样，切肉的时候取小刀，剪纸的时候切换剪刀，这就成了一个“工具库”，而不是一个浑然一体的万能钥匙。

从这个角度出发，我们的算法选型定在了图结构索引上，主要有这几个原因：

1）基于图的算法检索速度快，目前在大规模工业应用有得到验证。

2）“图”的结构易扩展，可以兼容不同的“选边逻辑”，支持不同的检索模式。

写到这，熟悉这个领域的朋友可能已经猜到我们想干嘛了。没错！我们要构建异构图索引！

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新的选边策略和Dominators

以往的图索引算法，从这个角度说，都可以定义为“同构图”。我们都知道，图的数学表示可以写作G=(V, E)，V是点的集合，E是边的集合。同构图呢，就是在E这个集合里只有一种类型的边。而异构图呢，则是可以包含任意多种类型的边。

以往在最小欧式距离检索比较出名的算法，例如HNSW，NSG，SSG等，本质上都属于同构图，也就是说E里面只有“为了欧式度量设计”的边。在最大内积检索领域，基于图的算法的发展速度一直落后于欧式度量的原因，就是没有一个为“内积度量”量身定制的选边算法。

我们回顾HNSW，NSG的成功，主要归功于下面这个选边算法：

简单理解，这个选边逻辑就是把图结构中所有三角形中的最长边给“删除”掉。由此，图类的算法可以为每个点只连接接近O(log N)数量的邻居，就可以实现接近O(log N)级别的检索速度！

同样地，我们发现，针对最大内积检索而言，并不是所有边都能贡献效率。我们也成功找到了一种稀疏、高效的选边算法来服务于内积检索。在介绍这个选边策略之前，我们先介绍一下在内积度量下，我们发现一种特殊的几何结构：dominator和它的“统治领域”（dominating region）。

以上图为例，在任意分布的向量集合D中，存在这样的一些点p（图中的三个红点），它们有一片自己的“统治区域”。在统治区域中的任意向量q（q可以不属于D），能够使得内积 最大化的点，只有p自己。换句话说，这些q的最大内积邻居，就只有“统治”它们的这个唯一的p。那么，这些p就被命名为dominator，而它们自己对应的统治区就被叫做p的dominating region。比如图中三个红点对应了红黄蓝三个锥状的统治区。我们证明，在一个有限的向量集合D上，dominator集合P是D的一个子集，P所决定的所有“圆锥形”统治区，构成了D所在向量空间的一个有限切分。

了解这个dominator的概念有什么意义呢？试想，如果我们能够以低成本的方式标记出一个数据集的所有dominator，那么，我们就已经拿到内积检索的“参考答案”了！这是因为对于任意一个query 向量q，只要能知道它落在哪个dominator的统治区，就能立刻得到内积检索的解！

于是，我们设计了如下的低成本的dominator筛选方案，并将它们都和图中与之最近的点连上边，于是就会得到一个“条条大路通罗马”的dominator图，命名为NDG（Naive Dominator Graph）。

当然，类似NSG的写作思路，NDG其实是一个理想最优的图索引，其O(N^2 log N)的构建复杂度是难以实用的。为此我们也提出了一种近似方案，在O(N log K)的时间内完成索引构建（K << N）。

有dominator也就一定有非dominator，这里我们也给出了一个简单的图例来展示dominator王国里，不同点的不同角色关系：

神奇的是，我们发现，有的dominator“驻扎”在自己的统治区（self-dominator），有的则呆在别人的统治区，没有统治区的，就是“平民”——非dominator了。我们通过统计分析的方式，给出了一个数据集中self-dominator比例的估计方式：

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异构图的构建和检索

到这里，我们已经对齐了欧式度量和内积度量的颗粒度了：

1）欧式选边策略（NSG）和内积选边策略（NDG），保证了两类度量下的图的稀疏性，利于高效存储。

2）O(N log K)的构建索引速度，保证两类边的筛选过程可在上亿级别数据上高效扩展。

I have an NSG, I have an NDG, Boom! MAG (Metric Amphibious Graph)!

没错！接下来的内容就非常直给，MAG的本质，就是两大度量空间下优势算法的有机结合。

1）在欧式空间，我们选择NSG作为基础结构的原因在于它速度快于HNSW，且内存占用比HNSW少50%以上。

2）在内积空间，我们构建NDG作为MAG图最终边集合的候选池，补足NSG在内积检索下非最优的问题。

我们通过大量的实验，发现了以下的现象：

1）NSG选出来的“欧式边”更关注“邻域”，缺少长距离的连接能；NDG选出来的“dominator边”关注大跨度的、从任意点到dominator的连接，往往是长距离连接。两者形成互补。

2）不同AI模型产出的向量数据分布大相径庭。通过调节图结构中“欧式边”和“内积边”的比例，可以找到最优性能配置。

3）在不同数据分布上，用不同度量进行配合检索也有意想不到的效果！

①一般情况下，先进性欧式最小距离搜索，再进行最大内积搜索是最优顺序。

②适合内积检索的数据，先进行较少步最小欧式搜索，再进行最大内积搜索到最后，可以达到更好性能。

③适合欧式检索的数据，进行比较多的欧式搜索，最后记不切换最大内积或者不切换，可以提升性能。

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MAG使用指南

通过前文的观察，我们可以理解MAG的真正用法：当不确定应该用什么度量的时候，可以用以下的探测方式：

1）构建好充足的NSG和NDG的边作为候选，存在disk上。

2）收集一批query作为探测集。

3）选择一个(欧式边 : 内积边)的比例，确定一个最大总边数，逐渐改变边的比例，把对应的边加载到内存，进行参数扫描。

4）选择一个(欧式步数 : 内积步数）的比例，确定一个最大总迭代搜索步数，逐渐改变步数的比例，进行参数扫描。

5）观测到性能先上升后下降，可以记录下最优的参数配置。

因为构建索引是最复杂的，上述步骤省略了重复构建索引的过程，只是在小规模的query集合上进行参数搜索，速度是很快的，比如在10000个query上，针对1千万的base进行检索，一次可能只需要几秒。进行细粒度的参数扫描，一般也就只需要几分钟就可以完成。

有的读者可能会问，那有没有一眼就可以看出来这个数据更适合哪种趋向的检索呢？当然也有办法，我们通过大量实验给各位用户老爷找到两个简单的统计度量指标。

一个是模长变异系数（Coefficient of Variation Over Norm）。我们先采样计算一定数量的base向量的norm，然后计算norm的变异系数CV = std(norm) / mean(norm)，也就是模长的方差除以均值。CV高的数据适合偏向内积的搜索，可以从高比例内积边作为起始进行参数调优或者直接选择参数。反之CV低的数据适合欧式。

另一个则是聚类指数DBI（Davies-Bouldin Index）。DBI定义如下：

计算的是不同类别点到不同的类别中心的距离，与类别中心互相之间的距离的相对比例。DBI越小（< 2），说明数据越高度聚类，越适合欧式偏向的检索；反之，则越均匀分布，适合内积偏向的检索。

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小结

我们在SIGIR2025的最新论文提出了一种独特的基于图的向量检索算法，可以根据需求，自适应的在欧式距离和内积距离的搜索模式间，无缝切换。

我们在极其广泛的数据上验证了方法的有效性。数据选择覆盖了传统数据、文本、图像、多模态，总计12个大型、高维数据集。做这么多主要是为了证明MAG适应性极强、不挑数据：

arxiv

论文：https://arxiv.org/pdf/2504.14861

代码

代码：https://github.com/ZJU-DAILY/MAG

欢迎同行们评论、留言、私信，有留言必回。

我是傅聪，《业务驱动的推荐系统：方法与实践》的作者，高性能检索NSG/SSG/PSP/MAG算法的发明者，千亿级向量检索系统的缔造者。

我们算法团队和国内外很多一流大学和实验室都有长期合作，方向不限于大模型、搜推广、机器学习，欢迎各界研究者一起合作。

我的个人邮箱是：fucong92@126.com

傅聪Cong

全网同名科技博主

https://github.com/CongFu92