重整化生万物兴，不变群滋楗木长丨重整化群分析·第六课

导语

重整化群（RG）本质上是研究系统在群变换下的不变性及其导致的简化。传统上，它被用于研究临界相变，但同样适用于非线性动力学。在动力系统研究中，通过寻找时间演化的不变结构，可以提取出支配运动的低维子流形（如不变流形、稳定/不稳定流形），实现降维、粗粒化和动态约化。动力学中的RG还强调各种物理和数学对称性（如平移、旋转、缩放），这些不变性与诺特定理联系起来，帮助我们理解守恒定律和可积性。随着计算科学的发展，RG思想逐渐融入机器学习和复杂系统研究，用于提取数据的主要特征并忽略无关细节。

本周六（8月30日）14:00-16:00将进行第六课中，由兰岳恒教授介绍重整化群分析不仅能够计算方程的近似解，也能够得到精确解，并提高计算效率。为复杂非线性系统，例如流体计算、等离子体计算等提供了一个可以期待的手段。

主题：重整化群分析的更多应用

课程简介

重整化群分析不仅能够计算方程的近似解，也能够得到精确解。即使是较为复杂的多孤子解，也可以方便得到。这里把群的不变性质用到解的形式不变上面，将复杂非线性问题转化为线性问题或低维非线性问题，大大降低了求解难度。将方程约化到状态空间的子流形上，则是RG分析的应有之用。这里举的例子是描述空间延伸系统的非线性偏微分方程，RG分析可以用更少的自由度达到相同的计算精度，大大提高了计算效率。为复杂非线性系统，例如流体计算、等离子体计算等提供了一个可以期待的手段。当然，RG分析还有很多未明之端，期待各位同仁共同努力，让这一经典工具焕发新的活力。

课程大纲

1. 引言：重整化群与微分方程

   1. 重整化群分析本质上是动力学系统中的一种坐标变换方法，通过引入新的参数来描述系统的演化，从简单的线性振子例子推广到一般非线性系统，但后者通常需要借助近似方法。

2. 重整化群分析的扩展

   1. 重整化群分析已从常微分方程扩展到非线性偏微分方程、映射和分岔理论等更广泛领域，能够推导振幅方程和确定中心流形，但在子流形动力学中面临不变性方程数量不足的数学挑战。

3. 三个具体的案例

   1. Kuramoto-Sivashinsky方程的稳态解。可以将Kuramoto-Sivashinsky方程的稳态问题转化为三维动力系统，运用扰动分析和重整化群方法推导出描述系统演化的精确行波解。

   2. 一个简单的常微分方程。通过重整化群方法分析具有时间反演对称性的简单二维常微分方程组，成功推导出连接不稳定与稳定流形的同宿轨道的精确解析解。

   3. 一个有趣的偏微分方程。通过重整化群方法系统构造了五阶非线性演化方程的多种精确解，包括单孤立子解、双孤立子解和椭圆函数解，展现了RG方法在求解复杂非线性偏微分方程中的强大能力。

4. KS方程的具体求解

   1. 通过微扰展开和模态分解技术系统求解KS方程，展现了重整化群方法在处理复杂非线性偏微分方程中的有效性，并通过数值验证证实了理论解的准确性。

5. 本节总结

   1. 成功提出并应用了扩展重整化群方法处理常微分方程和偏微分方程等多种物理系统，并推广到高维不变子流形的动力学分析，但在时滞噪声系统、收敛性判据、可积性理论和复杂系统子网格建模的最优参数化等方面仍面临重大挑战。

   2. Goldenfeld的重整化群理论。通过引入任意时间尺度参数τ并要求物理解不依赖于该参数，系统性地消除微扰展开中的久期项，从而获得在长时间尺度上有效的解。

专业术语

重整化群、坐标变换、相空间、非线性动力学、初始条件演化、非线性偏微分方程、振幅方程、中心流形、映射分析、子流形动力学、Kuramoto-Sivashinsky方程、稳态解、动力系统化、扰动分析、时间反演对称性、同宿轨道、连接轨道、精确解、可逆系统、五阶演化方程、N-孤立子解、椭圆函数解、多参数分类、有理分式解、微扰展开、模态分解、扩展重整化群、高维不变子流形、时滞噪声系统

课程信息

课程信息

课程主题：重整化群分析的更多应用

课程时间：2025年8月30日（周六） 14:00-16:00

课程形式：腾讯会议（会议信息见群内通知）；集智学园网站录播（3个工作日内上线）

课程主讲人

兰岳恒，北京邮电大学物理科学与技术学院教授，博士学位在佐治亚理工学院（Georgia Institute of Technology）获得。先后在国内外多个著名大学学习和工作过，有丰富的学科交叉研究经历。主要从事非线性科学、统计物理、生物物理、复杂信息和智能系统等方面的研究工作，注重基本理论方法的发展和与实验紧密结合的应用。现为北京邮电大学“数学与信息网络”教育部重点实验室副主任，多次被邀请在国内外学术会议上报告自己的工作，同时担任期刊“理论物理通信”（Communications in Theoretical Physics）和“现代数学物理”（Modern Mathematical Physics）的编委，也是多个国际著名杂志的审稿人。发表学术论文100余篇，包括国际顶级杂志PRL， PNAS， Nature子刊论文多篇。

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你知道吗？费根鲍姆常数可以由重整化群计算，相变临界点可以由重整化方法得出，深度神经网络的多层计算就是在对图像做重整化。重整化群是考察不同尺度下物理规律变化的数学工具，帮助我们理解系统在大范围内或临界点附近的行为。集智学园联合北京邮电大学兰岳恒教授开设，系统讲述重整化群这一理论框架，怎样用来分析高维非线性系统的性质，实现方程的求解与约化。本系列课程将回答如下问题：

从有限的观测提取一般性规律建模的原则和常见框架是什么？ 怎样写出系统重要结构和运动模式的近似解析表达式？ 怎样将对称性、不变性、基本范式等先验知识放到系统解析描述中？ 怎样建立系统不同层级动力学间联系的方程？

早鸟价最后两天！欢迎感兴趣的研究者加入课程。

详情可见：

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