登绝顶摩天揽胜：层析非线性律动 | 重整化群分析·第四课

导语

重整化群（RG）本质上是研究系统在群变换下的不变性及其导致的简化。传统上，它被用于研究临界相变，但同样适用于非线性动力学。在动力系统研究中，通过寻找时间演化的不变结构，可以提取出支配运动的低维子流形（如不变流形、稳定/不稳定流形），实现降维、粗粒化和动态约化。动力学中的RG还强调各种物理和数学对称性（如平移、旋转、缩放），这些不变性与诺特定理联系起来，帮助我们理解守恒定律和可积性。随着计算科学的发展，RG思想逐渐融入机器学习和复杂系统研究，用于提取数据的主要特征并忽略无关细节。

本课程兰岳恒讲授将在第四课中，将深入讲解重整化群在动力学中的应用，首先介绍与动力学约化紧密相关的子流形的概念，这是当前研究机器学习原理重点关注的对象，并从系统包含参数的近似解中得到的重整化群方程以便抓住我们关注的对象，并进行后继的分析。

主题： 非线性动力学的重整化群分析

课程简介

重整化群思想的核心还是群的概念，用其进行常见的相变研究只是一个广为人知的应用，而在动力学中的应用则是另一个正在成长的领域。在这里，群的应用主要与约化和不变结构相联系。所以我们首先讲述与动力学约化紧密相关的子流形的概念，这也是当前研究机器学习原理重点关注的对象。从系统包含参数的近似解中，我们可以得到重整化群方程，它脱胎于近似解，但很多时候成立的范围大大超出，因为它融入了群不变的性质。实际上，重整化群分析在很大程度上囊括了渐进分析的很多分支，量子力学中的WKB近似就是一例。

课程大纲

1. 引言

   1. 降维与粗粒化：动力学系统经常需要通过 局部平均 或 增加粗粒化尺度 来定义合适的序参量，从而将高维系统的行为映射到低维子流形。这种子流形对动力学具有吸引或组织作用，被称为演化不变集。

   2. 物理和数学中的不变性： 物理定律通常具有 平移、旋转和尺度的不变性；通过诺特定理，这些不变性对应守恒律。数学上，线性系统及其线性化分析也依赖于不变性和李群对称性。

   3. 向非线性动力学的推广： RG方法关注的不仅是空间对称，还包括时间尺度上的不变性。通过研究常微分方程的向量场和轨道结构，可以找到不变集并实现动力学约化。

2. 重整化群与微分方程

   1. 这一部分介绍如何从含小参数的微分方程中提取重整化群方程。通过正规级数展开并引入滑动基点，要求近似解对基点不依赖，可推导出控制参数随时间或尺度演化的 RG 方程。课程强调不变子流形的概念：许多复杂系统的长期行为集中在低维流形上，识别这些流形可大大降低分析难度。

   2. 正规级数展开与RG方程

   3. 动态不变子流形

   4. 洛特卡-沃尔泰拉竞争模型

   5. 柯西-施瓦茨不等式

3. 更多延申

   1. RG 方法不仅适用于简单常微分方程，还能处理更复杂的偏微分方程和多主体系统。

   2. 非线性偏微分方程

   3. 重整化群与认知科学

   4. 重整化群与卷积神经网络

4. 总结

   a. 课件总结了本节课提出的 RG 扩展方案，展示了其在确定不变轨道方面的成功应用，并指出它可以推广到更高维的不变流形。同时提出三个关键挑战：

   1. 如何将现有方案推广到更复杂的系统，包括高维不变子流形

   2. 当系统的特征方向（特征向量）未知时，如何构建适当的 RG 近似

   3. 如何同时将动力学和统计方法纳入同一 RG 框架，兼顾确定性动力学和随机波动

专业术语

重整化群、尺度变换、降维、粗粒化、对称性、不变流形、稳定流形、不稳定流形、特征方向、正规级数展开、重整化群方程、滑动基点、洛特卡‑沃尔泰拉模型、周期轨道、Kuramoto‑Sivashinsky 方程、自组织临界性、认知科学、卷积神经网络、傅里叶展开、模式不稳定性、渐近分析、WKB近似。

课程信息

课程主题：重整化群初步

课程时间：2025年8月16日（周六） 9:00-11:00

课程形式：腾讯会议（会议信息见群内通知）；集智学园网站录播（3个工作日内上线）

课程主讲人

兰岳恒，北京邮电大学物理科学与技术学院教授，博士学位在佐治亚理工学院（Georgia Institute of Technology）获得。先后在国内外多个著名大学学习和工作过，有丰富的学科交叉研究经历。主要从事非线性科学、统计物理、生物物理、复杂信息和智能系统等方面的研究工作，注重基本理论方法的发展和与实验紧密结合的应用。现为北京邮电大学“数学与信息网络”教育部重点实验室副主任，多次被邀请在国内外学术会议上报告自己的工作，同时担任期刊“理论物理通信”（Communications in Theoretical Physics）和“现代数学物理”（Modern Mathematical Physics）的编委，也是多个国际著名杂志的审稿人。发表学术论文100余篇，包括国际顶级杂志PRL， PNAS， Nature子刊论文多篇。

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你知道吗？费根鲍姆常数可以由重整化群计算，相变临界点可以由重整化方法得出，深度神经网络的多层计算就是在对图像做重整化。重整化群是考察不同尺度下物理规律变化的数学工具，帮助我们理解系统在大范围内或临界点附近的行为。集智学园联合北京邮电大学兰岳恒教授开设，系统讲述重整化群这一理论框架，怎样用来分析高维非线性系统的性质，实现方程的求解与约化。本系列课程将回答如下问题：

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