山西
一、题目
如图，在△ABC中，D为AB上一点，BD=2AD，连接CD，E为CD的中点，连接BE.若∠ACD=30°，∠BED=60°，CD=4，则AB的长为______
二、分析与解答
条件中给出两个特殊角、一个中点、一组线段比.
由特殊角想到构造特殊三角形，由中点想到构造8字全等、含中位线A字相似，由线段比想到构造相似.
解法一：8字全等+A字相似+勾股定理
△CEF≌△DEG，EF=EG=1，CF=DG=√3
DG//AF，BG/GF=BD/AD=2，BG=2GF=4
在RT△BDG中，由勾股定理，得 BD=√19
∴AD=√19/2，AB=3√19/2
解法二：双A字相似+勾股定理
EF是中位线，EF=1，DG=2，CF=FG=√3
DG//BF，AG/GF=AD/DB，AG=1/2FG=√3/2
由勾股定理，得 AD=√19/2 ∴AB=3√19/2
解法三：A字相似+勾股定理
DF=2，EG=1，DG=√3
△ADF∽△DBG，BG=2DF=4
DB=√19，AB=3√19/2
解法四：8字全等+8字相似
EF=1，CF=√3，CG=BD，EG=BE
△CFG∽△AFB，相似比2：3
AF=3√3/2，GF/BF=2/3
设GF=x，则EG=BE=x+2
x/(x+2)=2/3 解得x=4 ∴BF=6
由勾股定理，得AB=3√19/2
三、小结
1、遇特殊角，构造特殊三角形
2、遇中点，构造8字全等，含中位线A字相似
3、遇线段比，构造相似（过端点作平行线）
4、基础要扎实，如解法四，最后一步用勾股定理求线段长时，要会化简√171=3√19
√171看着好像不能化简，其实是可以化简的，可以用短除法分解质因数，建议把30以内质数记住：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29（正好10个）
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