山西
一、题目
如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60°，AE⊥CD于点E，点F在BC边上，且AF=EF，∠AFE=90°.若AD=4，则CE的长为_______
二、分析与解答
两个特殊的直角三角形：
含30°角的直角三角形RT△ADE、等腰直角三角形RT△AEF
AD=4，DE=2，AE=2√3，AF=EF=√6
两个可解三角形：
△ABF和△CEF都是已知两角和一边
解法一：构造梯形中位线
过点F作FG⊥AE于点E
由三线合一，得 AG=EG=FG=1/2AE=√3
由平行线分线段成比例，可得 BF=CF
∴FG是梯形CEAB的中位线
设CE=x，则AB=CD=x+2
FG=(CE+AB)/2=x+1=√3，x=√3-1
∴CE=√3-1
解法二：解△ABF
过点F作FG⊥AB于点G
AG=FG=AF/√2=√3，BG=FG/√3=1
AB=CD=√3+1，CE=CD-DE=√3+1-2=√3-1
解法三：解△CEF
过点F作FG⊥CE，交EC延长线于点G
FG=EG=EF/√2=√3，CG=FG/√3=1
CE=EG-CG=√3-1
三、小结
1、这道题比较简单，一个平行四边形被分成4个特殊三角形，两个共边的特殊直角三角形，由AD=4即可求出剩余所有边，剩下两个三角形都是已知两角和一边，也都可解，所以在这个图形中，任意一边都能求出来.
2、本题中还隐藏一个小模型，如果直角梯形两直角的平分线交点落在另一腰上，则交点是另一腰的中点.
3、解斜三角形（非直角三角形）时，通常作垂线，构造含已知角的直角三角形.
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