一、题目
15.如图,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC=5,∠BAC=90°,在AC的右侧作Rt△ADC,∠ADC=90°,连接BD,交AC于点E若BD=BC,则BE的长为_______.
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二、分析与解答
解法一:三线合一+平行线分线段成比例+勾股定理+8字相似
过点B作BG⊥CD于点G,交AC于点F
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AB=AC=5,BC=BD=5√2
由三线合一,知 CG=DG
由平行线分线段成比例,知AF=CF=5/2
由勾股定理,得 BF=5√5/2
∵△BAF∽△CDA,三边比1:2:√5
∴AD=AC/√5=5/√5=√5
∵△ADE∽△GBE
∴DE:BE=AD:GB=√5:5√5/2=2/5
∴BE=5/7BD=5/7×5√2=25√2/7
解法二:12345模型
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在△BCE中,BC=5√2,tan∠BCE=1,只需求出tan∠CBE,即可求出BE
∠ABC=45°,tan∠ABF=1/2
由12345模型,可得 tan∠CBF=1/3,tan∠CBE=3/4
设EH=3m,则BH=4m,CH=3m,BE=5m
∴BC=7m=5√2,m=5√2/7
∴BE=5m=25√2/7
三、小结
1、等腰三角形最常见辅助线:三线(通常作高)
2、遇45°角拆分成两个角,可联想到12345模型
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