山西
一、题目
15.如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC=5，∠BAC=90°，在AC的右侧作Rt△ADC，∠ADC=90°，连接BD，交AC于点E若BD=BC，则BE的长为_______.
二、分析与解答
解法一：三线合一+平行线分线段成比例+勾股定理+8字相似
过点B作BG⊥CD于点G，交AC于点F
AB=AC=5，BC=BD=5√2
由三线合一，知 CG=DG
由平行线分线段成比例，知AF=CF=5/2
由勾股定理，得 BF=5√5/2
∵△BAF∽△CDA，三边比1:2:√5
∴AD=AC/√5=5/√5=√5
∵△ADE∽△GBE
∴DE:BE=AD:GB=√5:5√5/2=2/5
∴BE=5/7BD=5/7×5√2=25√2/7
解法二：12345模型
在△BCE中，BC=5√2，tan∠BCE=1，只需求出tan∠CBE，即可求出BE
∠ABC=45°，tan∠ABF=1/2
由12345模型，可得 tan∠CBF=1/3，tan∠CBE=3/4
设EH=3m，则BH=4m，CH=3m，BE=5m
∴BC=7m=5√2，m=5√2/7
∴BE=5m=25√2/7
三、小结
1、等腰三角形最常见辅助线：三线（通常作高）
2、遇45°角拆分成两个角，可联想到12345模型
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