马起盘格势——中国象棋里的数学

马起盘格势——中国象棋里的数学

说起中国象棋，想必很多人都不陌生，其中“马”作为重要棋子，有着极其重要的作用.在中国象棋规则中，“马”走日，即一次可控八个点，可谓威风八面！并且“马”也属于可以抵达棋盘上任何一点的棋子，明确这两点，是今天这道题的背景.

题目

在中国象棋棋盘中，棋子“马”的位置如图所示，若将“马”跳20步(马跳“日”字)，则最后一步“马”落在棋盘上的不同位置可能有( ).

A.40个 B.45个 C.50个 D.90个

解析：

中国象棋的棋盘总共有8×9个方格，格点总共90个，而棋子“马”从最初位置开始跳，20步内可以到达任何一处格点，但题目求第20步棋子“马”可能到达的格点，就涉及到每一步“马”应该如何跳，按中国象棋规则，“马”走日，为方便叙述，我们建立平面直角坐标系，如下图：

这个坐标系的原点并不是(0,0)，而是(1,1)，我们将每一个格点位置用两个数字来表示，例如左下角第一个格点表示为(1,1)，而“马”所在的格点表示为(8,8)，然后我们来研究“马”(M点)跳1步后可能到达的位置，如下图：

按照中国象棋规则，点M可抵达M1，M2，……，M8共8处，但受棋盘限制，有两个点无法抵达，只剩下6处，我们分别观察这6处点的坐标，发现它们相对点M(8,8)，横纵坐标均发生了变化，分别为(7,10)，(6,9)，(6,7)，(7,6)，(9,6)，(9,10)，依次改写为(8-1,8+2)，(8-2,8+1)，(8-2,8-1)，(8-1,8-2)，(8+1,8-2)，(8+1,8+2)，发现跳1步之后，点M可能到达的位置坐标为(8±1,8±2)或(8±2,8±1)；

对以上观察的信息进行解读，点M横纵坐标之和为16，跳1步之后，横纵坐标之和可能是13，15，17，19，结合前面的探究结论，我们不难得出，点M跳1步之后，横纵坐标分别变化了1或2，相加之后一定是奇数，因此改变了横纵坐标和的奇偶性，按这个规律继续下去，跳2步之后，横纵坐标之和一定是偶数，跳3步之后，横纵坐标之和一定是奇数，……

可推导出跳20步之后，横纵坐标之和一定是偶数.

然后我们在图中找一找，哪些格点的横纵坐标之和为偶数，如下图：

每条竖格线上有5个点满足要求，则9条竖格线上共有45个点满足横纵坐标之和为偶数，即“马”跳20步之后，最后一步落在棋盘上的位置可能有45个，答案选B.

解题思考

本题难点在于如何描述中国象棋中“马”走日的情景，用数学的眼光来看待每跳1步之后位置的变化，显然在初中数学范围内，建立平面直角坐标系是最有效的描述位置变化的方式，但这并不是普通的平面直角坐标系，而是将原点定为(1,1)的特殊平面直角坐标系，因为0这个数字既不是奇数也不是偶数，对我们讨论横纵坐标之和的奇偶性会带来困扰.

要突破这个难点，首先需要了解中国象棋中“马”的移动规则，即“马”走日，先从跳1步开始研究，发现其横纵坐标之和的奇偶性变化是有规律的，然后用数学语言描述这个规律，最后得到我们需要的结论.

2022版新课标中的“三会”，需要我们将其渗透到每一节数学课上，具体到每一个教学环节、每一个课堂活动、每一道例题习题中，并非堂而皇之将它抄到教案上，便是对课标的理解，恰恰相反，真正优秀的数学课，这三句话只存在于心中，当在课堂上呈现出相应的教学过程之后，学生会感知，听课老师会明白，真的不要将它变成备课的形式主义.

基于中国象棋的数学问题还有很多，棋盘上的数学远不止本题所讨论的内容，它可以是网格作图，也可以是平面直角坐标系中的坐标变化，这都需要数学老师先用数学眼光去发现，再带动学生学习用数学眼光去看待这些生活中的情景.