Koopman分析之符号跳动：牵手统计物理与动力学 | Koopman分析系列课程第五课

导语

符号动力学通过不同符号描述动力学的不同部分，将复杂动态过程转化为简单的符号序列，是研究高维非线性系统的重要工具。Koopman算符为符号动力学不同部分的划分，提供了一种全新的做法。在第五节中，将由兰岳恒教授于 1月19日（周日）14:00-16:00 带领大家，从基础概念到具体案例来探讨Koopman算符在符号动力学的应用。

主题：Koopman算符在符号动力学中的应用

课程简介

Koopman算符一个重要的应用就是在符号动力学中的符号划分。符号动力学是非线性轨道的一种严格拓扑描述，用不同符号描述动力学的不同部分，轨道可以用符号序列来表示，因而也是联系信息论的重要工具，在智能时代具有特殊的意义。其中最大的困难是动力学不同部分怎样划分，Koopman算符方法提供了一个全新的做法。

本课程中将从基础概念开始，包括Morse分解和能量景观，奠定分析复杂行为的基础。接着，结合Logistic映射、Hénon映射和Duffing振子等离散系统，揭示非线性系统的复杂性。在连续系统部分，我们将分析洛伦兹系统、洛斯勒方程及Kuramoto-Sivashinsky方程，深入理解动态特征及其符号化方法。

最后，课程将讨论符号动力学的桥梁作用、Koopman算符的应用及其在高维系统中的挑战。参与者将掌握应用符号动力学分析复杂系统的能力，提高对动态行为的描述与理解。

课程大纲

1. 引言

a. 这一部分通过介绍Morse分解、能量景观、超度量性和符号动力学，构建了一个理解复杂动态系统的基础框架。通过这些概念，我们能够更深入地分析和理解在非线性动力学中出现的复杂行为，为后续研究奠定了理论基础。

2. 符号动力学

a. 在离散系统部分结合Logistic映射、Hénon映射和Duffing振子的案例，有效揭示了非线性动态系统的行为及其复杂性。通过遍历性、相似性和对称性分析，我们能够将不同区域的动态特性进行分类，从而用不同的符号来代表不同的区域，而轨道本身则通过符号序列来区分。

b. 在连续系统部分通过对洛伦兹系统、洛斯勒方程和Kuramoto-Sivashinsky方程的分析，清晰地识别出动态行为信息量的变化，从而区分性质不同的区域。从时间序列到相空间的详细图示，来加深了我们对系统复杂性的理解，以及如何通过符号化方法对其进行简化和分析。

3. 课程总结

a. 符号动力学的桥梁作用

b. 符号划分的重要性

c. Koopman算符的作用

d. 特征函数的零点

e. 方法的推广和挑战

1. 如何处理高维系统？

2. 如何从Koopman分析中获取剪枝规则？

3. 是否可以将符号动力学与机器学习相关联？

涉及专业术语

State Statistics（状态统计）、Trajectory Statistics（轨迹统计）、Orbital Entropy（轨道熵）、Topology（拓扑）、Invariant Sets（不变集）、Solution Curves（解曲线）、ω-Limit Set（ω极限集）、α-Limit Set（α极限集）、Morse Decomposition（Morse分解）、Orbit Equivalence（轨道等价）、Energy Landscape（能量景观）、Coarse Graining（粗颗粒化）、Ultrametric Structure（超度量结构）、Symbolic Dynamics（符号动力学）、Linearization（线性化）、Quadratic Potential（二次势）、Information Flow（信息流）、Logistic Map（逻辑斯蒂映射）、Topological Template（拓扑模板）、UPO Analysis（不稳定周期轨道分析）、Optimized Symbolic Shadowing（优化符号阴影法）、Koopman Operator（Koopman算符）、Hénon Map（Hénon映射）、Duffing Oscillator（Duffing振子）、Time-delayed Embedding（时间延迟嵌入）、SVD（奇异值分解）、Lorenz System（洛伦兹系统）、Symbolic Partition（符号划分）、Rossler Equation（洛斯勒方程）、Kuramoto-Sivashinsky Equation（Kuramoto-Sivashinsky方程）

课程信息

课程主题：Koopman算符在符号动力学中的应用

课程时间：2025年1月19日（周日） 14:00-16:00

课程形式：腾讯会议（会议信息见群内通知）；集智学园网站录播（3个工作日内上线）

课程主讲人

兰岳恒，北京邮电大学理学院教授，博士学位在佐治亚理工学院（Georgia Institute of Technology）获得。先后在国内外多个著名大学学习和工作过，有丰富的学科交叉研究经历。主要从事非线性科学、统计物理、生物物理、复杂信息和智能系统等方面的研究工作，注重基本理论方法的发展和与实验紧密结合的应用。现为北京邮电大学“数学与信息网络”教育部重点实验室副主任，多次被邀请在国内外学术会议上报告自己的工作，同时担任期刊“理论物理通信”（Communications in Theoretical Physics）和“现代数学物理”（Modern Mathematical Physics）的编委，也是多个国际著名杂志的审稿人。发表学术论文100余篇，包括国际顶级杂志PRL， PNAS， Nature子刊论文多篇。

系列课程信息

课程适用对象

1. 理工科研究生或高年级本科生：

• 对非线性动力学、数学建模、数学物理或统计力学感兴趣。

• 具备一定的微分方程、线性代数及计算基础。

对理论与实践结合感兴趣的跨学科研究者：

• 希望通过Koopman算子探索非线性系统在自己的研究方向中的应用。

1. 从事各类复杂系统研究、寻找有力分析工具。

具有探究精神的学生：

• 乐于参与讨论、假设推导和问题反思的学生。

要想解开非线性动力学的奥秘并不简单，但前进的每一步，都值得我们欣喜。本系列课程，我们会进行严格的课堂管理，鼓励各位同学积极思考、讨论，希望能够通过本课程让同学们能对Koopman算符理论有深入的研究，并能进行相应的理论研究和应用实践。对于满足以下条件的同学，会发放实体证书，将选出3名优秀的同学每人赠送1件集智定制T恤。让我们共同开启一次苏格拉底式的课程吧。

课程证书发放标准：

1. 报名时间：2024年12月21日前报名的成员；

2. 参与课程直播：不低于80%，根据腾讯会议的在线时间进行统计；

3. 加分项：课程直播和课程微信群内积极提问；

4. 加分项：完成课程设置的任务；

报名须知

1. 课程形式：腾讯会议直播，集智学园网站录播。本系列课程不安排免费直播。

2. 课程周期：2024年12月21日-2025年1月25日，每周六下午2点-4点进行。

3. 课程定价：599元

扫码付费报名课程

课程链接：https://campus.swarma.org/course/5419?from=wechat

付费流程：

2. 课程页面添加学员登记表，添加助教微信入群；

3. 课程可开发票。

1. 途径一：发布高质量课程笔记

在集智斑图网站（pattern.swarma.org）完成本课程体系下某个方向的总结文章或学习路径。经集智学园助教团队评定认可后，可作为一条贡献。一条贡献奖励200元奖学金，质量优异的内容，会有浮动奖励。

可参考：

1. 途径二：招募课程助理1名（已结束招募）

付费报名课程后，联系助教微信申请课程助理。经沟通，成为正式课程助理，完成课程助理任务，在课程结束后退全额学费。