无理数捍卫者，为科学牺牲第一人——希帕索斯

无理数的发现者希帕索斯是人类文明史上第一个为科学献身的英雄。由于这位数学家无意间发现了“无理数”的秘密，而被残忍杀害。

希帕索斯——人类文明史科学献身第一人

我们都知道有理数包括所有的整数和分数，可以表示为两个整数的商。

有一种简单的几何解释可以用来理解有理数。在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，令它的定端点和右端点分别表示数0和1，那么所有的有理数都可以在这条直线上找到相应的位置。整数既是单位长的整数倍点的集合，正整数在0的右边，负整数在0的左边。以q为分母的分数，可以用每一单位间隔分为q等分的点来表示。比如 3/7，只要将线段平分成七份，就能找到3/7 的位置。于是，每一个有理数都对应着直线上的一个点。但我们反过来想，这条直线上所有的点都可以被有理数表示吗？或者说所有有理数确定的点能填充满这条直线吗？这就引出了无理数的定义。

要想了解无理数的起源，我们还是从古希腊历史上最伟大的思想家毕达哥拉斯说起。

一、毕达哥拉斯及其神秘学派

毕达哥拉斯是人类文明史上影响最为深远的人物之一。公元前580年前后出生于爱琴海中临近小亚细亚的萨摩斯岛。他是一位与孔子和释迦牟尼生活在同一时代的古希腊著名数学家和哲学家。当代著名哲学家罗素在其经典名著《西方哲学史》中，将毕达哥拉斯评价为“历史上最有趣味而又最难理解的人物之一”。

毕达哥拉斯的导师泰勒斯。西方思想史上第一个有名字留下来的哲学家，被称为“科学之祖”。

公元前551年，毕达哥拉斯来到米利都，慕名拜访当时古希腊最伟大的哲学家泰勒斯。毕达哥拉斯在泰勒斯的门徒阿那克西曼德指导下学习几何学与哲学。后来，又在泰勒斯的推下，到巴比伦和埃及游学，经过十几年的游学生涯，年近五旬的毕达哥拉斯返回了自己的家乡，并在萨摩斯创办了一所“学校”。但他的学校“门可罗雀”，当地几乎没人愿意跟着他学习那些似乎没什么用处的数学。无奈之下，毕达哥拉斯离开了萨摩斯，后在意大利南部的克洛托内定居下来，并在那里开办学校，广收门徒，很快便建立了一个宗教、政治、学术合一的团体，后人称之为“毕达哥拉斯学派”。

毕达哥拉斯的“学校”实际上是一个献身数学研究和宗教修养的秘密团体，笼罩着一种不可思议的神秘气氛。在这个团体里，财产是公有的，而且有一种共同的生活方式。甚至科学和数学的发现也被认为是集体的，并且被归于毕达哥拉斯名下。所以我们现在谈论毕达哥拉斯的成就时，往往很难把他个人与整个毕达哥拉斯学派截然分开。

毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，数是宇宙的本源。一切事物都必须而且只能通过数得到解释，宇宙的本质和规律就是数的和谐。而毕达哥拉斯学派所说的数，仅仅是指整数，他们认为，宇宙间的所有事物都一定能归结为整数或整数之比。他们还首创了西方沿用至今的“宇宙”(cosmos)概念，它的本义就是一个和谐而有规律的整体。

二、毕达哥拉斯定理带来的困惑

毕达哥拉斯定理是人类最早认识到的平面几何定理之一 ，定理表述为：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两条直角边的平方和。这个看起来并不复杂的定理使毕达哥拉斯学说闻名天下，而也正是这条定理成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。毕达哥拉斯学派认为，一个数要么本身是整数，要么是两个整数之比。在当时的希腊人看来，任何量在任意精确度范围都可以表示成有理数。但是在毕达哥拉斯证明了毕达哥拉斯定理后，毕达哥拉斯学派却碰到一个伤脑筋的问题:如果等腰直角三角形的直角边边长是1，那么它的斜边L是多长，L显然是一个比1大又比2小的数字，按照达哥拉斯学派的观点，L只能是一个分数，而他们无论如何也找不到这个分数，L变得神秘起来。

三、第一个无理数的诞生

发现这个神秘数的，是毕达哥拉斯的一个学生--希帕索斯。我们对希帕索斯的了解不多，只知道其盛年大概在公元前470年左右。根据亚里士多德的记述，希帕索斯认为万物的本源是“火”。在这一点上他已经与自己的老师分道扬镳，而成为当时另一位著名哲学家赫拉克利特的支持者。这可以说明，希帕索斯是一个在思想上绝不轻易盲从的人。

亚里士多德雕像。亚里士多德的叙述使后人对毕达哥 拉斯及其学派有所了解。

希帕索斯在研究边长为1的正方形时，想计算一下正方形对角线的长度。希帕索斯发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数根号2来表示，这就是数学史上的第一个无理数。这个结果令他迷惑不解:根据老师的看法，宇宙间的所有事物一定是整数或整数之比，那边长为1的正方形的对角线的长度在世界上根本不存在！

根号2的出现，直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，导致了古希腊人在认识上的危机，从而引发了西方数学史上一场大风波，史称“第一次数学危机”。直到约一百年后的公元前370年，欧多克斯通过给比例重新下定义，给出不可通量的论述，确立了无理数在数学中合法地位，这场数学危机才得以圆满解决。欧多克斯是柏拉图的同辈，是毕达哥拉斯学派阿契塔的学生。

毕达哥拉斯故乡萨摩斯海边竖立的毕达哥拉斯雕像

四、为科学献身第一人

边长为1的正方形的对角线长度无法用两个整数的比来表示。这与毕达哥拉斯学派的信仰相差太大，甚至动摇了学派根基。希帕索斯很快就接到了学派上层的禁令，不准再研究、谈论这一问题，也不允许泄露学派内的机密，否则将会受到最严厉的惩罚。但希帕索斯不仅仍对这一问题进行反复研究，还在确信自己的发现准确无误之后，多次在不同的场合公开了这一发现，于是这一结果很快就不胫而走，在毕达哥拉斯学派以外流传开来。

感到学派的权威和派规受到了挑战和蔑视，毕达哥拉斯学派高层决定以“叛逆”的罪名，对希帕索斯严加惩罚。希帕索斯听到风声后，乘上一艘船企图逃离希腊。然而，在茫茫的地中海上,他永久地消失了。关于他的罹难，一直以来就有两种说法，一种说法是，希帕索斯乘坐的船只不幸沉没，他因而丧生。更为大众所知的另一种说法是:希帕索 斯最终还是被毕达哥拉斯学派的狂热信徒抓到，当场就被残酷地扔到大海里，葬身鱼腹。

生命可以被剥夺，真理却不能被抹杀。希帕索斯遇难之后，由他的发现所引发的数学和思想上的危机反而日益尖锐，当时的所有数学家、哲学家都开始思考：数学是否还有可能继续作为一门精确的科学?宇宙的和谐性是否还存在?第一次数学危机让数学家和哲学家开始反思，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。从此希腊人开始从“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系。这是数学思想史上的一次革命，也是第一次数学危机的自然产物。

以生命为代价的悲剧揭开了科学史的序幕，这也是希帕索斯的发现及其为之所付出牺牲的真正价值。