参透引力法则？教你星际穿越指南！

本文导读

本文围绕引力展开多方面探讨。自然界存在四种基本力，而引力是其中之一且为保守力。本文首先给出引力势能与引力的表达式，接着阐述引力场概念，包括单个与多个粒子产生的引力场，还证明了球对称物体外部引力场与质点的相同。随后讲解行星引力场的计算，以及逃逸速度概念及其计算，然后延伸到黑洞与史瓦西半径。最后区分惯性质量和引力质量，指出实验表明二者在高精度下相等，相关研究仍在进行。这些内容为深入理解引力相关知识奠定基础。

引力

据目前所知，自然界存在四种基本力。分别是引力、电磁力、强核力、弱核力。

其中的两种核力仅在小尺度上发挥作用，顾名思义，其作用范围与原子核的大小相当（ ）。如果不引入量子力学，着实无法恰当地描述这两种力，因此本课程不会对它们进行讨论。（对于强核力，可通过势能 给出一种非常粗略且不太准确的经典描述），本节我们讨论引力，下一节讨论电磁力。

引力是一种保守力。考虑质量为 的粒子固定在原点处。一个质量为 的粒子在引力场中运动时，其势能为

(G)是牛顿引力常数。它确定了引力的强度，其数值为

作用在该粒子上的力由下式给出

其中 是指向粒子所在方向的单位向量。这就是牛顿著名的引力平方反比定律。该力指向原点。我们将在第4节花大量篇幅研究粒子在平方反比力作用下的运动情况。

引力场

式（2.15）中的物理量 是质量为 的粒子在质量为 的物体产生的引力场中的势能。通常将质量为 的物体所产生的引力场定义为

有时被称作牛顿引力场，以区别于后来由爱因斯坦引入的一个更为复杂的概念。它有时也被叫做引力势。它是质量为 的物体所具有的一种属性。于是，质量为 的粒子的势能就由引力势给出，即

由多个粒子产生的引力场是每个单独粒子所产生引力场的总和。如果我们将质量为 的粒子固定在位置 处，那么总引力场为

质量为 的运动粒子在该引力场中所受的引力为

行星的引力场

牛顿引力势可以线性叠加的事实有着重要意义：质量为 的球对称物体（比如一颗恒星或行星）的外部引力场，与位于原点处质量为 的质点的引力场相同。

接下来对这一论断展开证明（实际上，这个证明是矢量微积分课程中关于体积分的一个例子，将其包含在此只为内容完整）。设行星的密度为 ，半径为 。对行星内部所有点 的贡献求和，引力场便可由下式给出：

为计算方便，转换到球极坐标中进行。令极轴方向（ ）与 的方向一致。这样一来， 。利用这一点可改写分母的表达式： 。于是引力场变为：

到目前为止，这一计算是对任意点 进行的，也就是说，无论该点是在行星内部还是外部，该计算均成立。 此处我们重点关注行星外部的点， 于是可得到 ，且 ，进而可得

这就是我们想要证明的结果：该引力场与位于原点处质量为 的质点的引力场相同。

逃逸速度

假设你被困在一颗半径为 的行星表面（这应该不难想象）。首先看看你所感受到的引力势能是多少。假设你只能从行星表面上升一小段距离 ，且 ，对势能进行泰勒展开，有

如果只对 的微小变化感兴趣，只需关注到第二项，于是

常 数

接下来，让野心再大一点。假设我们想要摆脱这种狭隘且受限于行星表面的生活状态，于是我们决定纵身一跃。要是希望获得真正的自由，那得跳多快才行呢？这和我们讨论一维空间中粒子运动的那类问题是一样的，结果表明，利用引力势能 可以很容易地知道答案。如果你以速度 径直向上（也就是沿径向）跳起，在你离开行星表面时，你的总能量为

对于任何小于0的能量 ，你最终都会在 这个位置停下来，然后再落回去。如果想要永远摆脱行星引力的束缚，你需要能量 。当 取最小值 时，相应的速度

就是逃逸速度。

黑洞和史瓦西半径

接下来做件不太靠谱的事，也就是把上面的公式应用到光身上。这么做不太靠谱的原因在于，对于接近光速的粒子（在这种情况下狭义相对论效应很重要），牛顿物理学定律是需要修正的。尽管如此，咱们先把这个问题抛在脑后，继续往下推导看看。

光以 的速度传播。如果一颗恒星表面的逃逸速度大于或等于光速，它的半径是多少呢？根据（2.17）式，该恒星的半径满足

要是这样的话，会看到什么情况呢？其实什么都看不到！这颗恒星的密度极大，以至于光都无法从它那里逃逸出来，这就是我们所说的黑洞。

尽管上述推导并不可靠，但幸运的是，结果是正确的。距离 被称作史瓦西半径。如果一颗恒星的密度大到使其处于自身的史瓦西半径之内，它便就会形成黑洞。（恰当地证明需要运用广义相对论）

惯性质量和引力质量

我们已经见过两个涉及质量的公式，它们都源于牛顿的工作。这两公式分别是牛顿第二定律以及万有引力的平方反比定律。然而，这两个公式中的质量的含义却截然不同。牛顿第二定律中的质量反映粒子在任何力的作用下抵抗加速的特性。而出现在平方反比定律中的质量则告诉我们一种特定力（也就是引力）的强度。我们有必要对这两种截然不同的质量加以区分。

牛顿第二定律涉及的是惯性质量，其表达式为

而牛顿万有引力定律涉及的是引力质量，其表达式为

然后实验事实告诉我们，惯性质量与引力质量相等，即

为了确定（2.18）式的精确程度，人们投入了大量的实验精力，最值得一提的是匈牙利物理学家厄缶（Eötvös）在（上个）世纪之交所做的工作。我们现在知道，惯性质量和引力质量在大约 的精度内是相等的。目前，研究这种等效性以及探寻在短距离内与牛顿定律的偏差的最佳实验，正由西雅图华盛顿大学的一个名为“厄缶—华盛顿”（Eöt-Wash）的研究小组开展。对（2.18）式在理论上的理解，直到广义相对论发展起来后才出现。

来源：熊猫物理课

编辑：亦山

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