导数的定义、计算、几何意义及判断函数单调性的应用举例

导数的定义、计算、几何意义及判断函数单调性的应用举例

导数的定义应用举例

[知识点]：函数y=f(x)的导数的极限定义为：f'(x)=lim(△x→0)[f(x+△x)-f(x)]/(△x).

例题1：设函数f(x)在x=12处的导数为30，则极限lim(△x→0)[f(12+23△x)-f(12)]/(12△x)的值是多少？

解：本题考查的是导数的极限定义，本题已知条件导数为30，其定义为：lim(△x→0)[f(12+△x)-f(12)]/(△x)= 30。

对所求极限进行变形有：

lim(△x→0) 23*[f(12+23△x)-f(12)]/(12*23△x)

=lim(△x→0) (23/12)*[f(12+23△x)-f(12)]/(23△x),

=(23/12)lim(△x→0) [f(12+23△x)-f(12)]/(23△x),

=(23/12)*30,

=115/2.

例题2:有一机器人的运动方程为s(t)=7t²+53/t(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t=9时的瞬时速度为多少？

解:本题考查的是导数定义知识，运动方程s(t)对时间t的导数就是速度v(t),所以有：

v(t)=s'(t)=(7t²+53/t)',

=2*7t-53/t²,

当t=9时，有：

v(9)=2*7*9-53/9²,

v(9)=1081/81,

所以机器人在时刻t=9时的瞬时速度为1081/81。

导数的基本运算举例

例题1：已知函数f(x)=(15x-29)lnx-57x²,求导数f'(1)的值。

解: 本题是导数知识计算，考查对数函数、幂函数以及函数乘积的求导法则，具体计算步骤如下。

∵f(x)= (15x-29)lnx-57x²，

∴f'(x)=15lnx+(15x-29)*(1/x)-2*57x

=15lnx+(15x-29)/x-114x.

所以: f'(1)=0+15-29-114=-128.

即为本题所求的值。

例题2:已知函数f(x)=-(11/26)x²+16xf'(7800)+7800lnx，求f'(7800)的值。

解: 本题是导数知识计算，考查对数函数、幂函数以及函数乘积和函数导数相关定义知识，具体计算步骤如下。

∵f(x)=-(11/26)x²+16xf'(7800)+7800lnx，

∴f' (x)=-2*(11/26)x+16f'(7800)+7800/x,

则当x=7800时，有:

f'(7800)=-2*(11/26)*7800+16f'(7800)+7800/7800,

即:-2*(11/26)*7800+15f'(7800)+1=0,

所以: f'(7800)= 6599/15.

导数解析函数单调性应用举例

[知识点]：如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若x∈D时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加;反之，若x∈D时，f'(x)在区间D内单调减少。

例题1:已知函数f(x)=-16lnx+17x²/5+54，计算函数f(x)的单调递减区间。

解：对函数进行求导，有：

∵f(x)=- 16lnx+17x²/5+54

∴f'(x)=- 16/x+2*17x/5，

本题要求函数的单调减区间，则：

-16/x+2*17x/5＜0，

(-16*5+2*17x²)/(5x)＜0，

又因为函数含有对数lnx，所以x＞0.

故不等式解集等同于：

2*17x²＜16*5，

即：x²＜40/17,

所以解集为：(0,(2/17)*√170).

例题2:已知函数f(x)=(x²+57x+852)/eˣ，求函数f(x)的单调区间。

解：对函数求一阶导数有：

∵f(x)=(x²+57x+852)/eˣ

∴f'(x)=[(2x+57)eˣ-(x²+57x+852)eˣ]/e^(2x),

=(2x+57-x²-57x-852)/eˣ,

=-(x²+55x+795)/eˣ,

对于函数g(x)=x²+55x+795，其判别式为：

△=55²-4*795=-155<0,

即：g(x)图像始终在x轴的上方，即g(x)＞0，

此时:f'(x)= -(x²+55x+795)/eˣ＜0，

所以函数f(x)=(x²+57x+852)/eˣ在全体实数范围上为单调减函数。

导数的几何意义应用举例

例题1：求函数f(x)=x(3x+7)³的图像在点(-2,f(-2))处的切线的斜率k。

[知识点]：导数的几何意义就是曲线上点的切斜的斜率。

解：本题对函数求导有：

f' (x)=(3x+7)³+3x(3x+7)²*3

=(3x+7)²*(3x+7+3*3x)

=(3x+7)²*(4*3x+7)

当x=-2时，有：

斜率k=f'(-2)

=(3*-2+7)²*(4*3*-2+7)

=1*-17

=-17，即为本题所求的值。

例题2：若曲线y=19x/10-21lnx在x=x₀处的切斜的斜率为12/13,则x₀的值是多少?

解：对曲线y进行求导，有：

y'=19/10-21/x，

根据导数的几何意义，当x=x₀时，有：

19/10-21/x₀=12/13，

即：21/x₀=19/10-12/13=127/130,

所以x₀=2730/127.