竞赛专题讲座01：如何探索竞赛、考研题的求解思路之如何解题

在讲座开始之前，提醒一下热心关注、支持咱号的学友们，由于是讲座，不像上课，所以不会特别注意问题的细节，讲座覆盖的内容也比较多，一般一次讲座就教材来讲，可能就覆盖有多个章节，而有些问题的求解，还可能涉及多个章节的知识点。讲座的内容主要覆盖高等数学、数学分析的主要内容和空间解析几何部分内容。

在阅读过程中，如果有些知识点、方法、公式等不是很熟悉，一定要记得去翻阅教材，及时查漏补缺！对于三门课程竞赛的主体内容，如果不希望再详细翻阅教材，也可以通过推文中的系列推文来快速了解相关题型、求解思路方法，并借助其中的典型例题与练习来加强基础训练。

今天的第一讲，一起来简单地聊一聊，拿到一个高等数学、数学分析课程相关的练习、考试题目的时候，如何来探索它的求解思路，得到问题的求解过程。也就是很多同学经常问到的：拿到一个题目该如何动笔的问题！

关于如何解题，著名数学家和数学教育家G·波利亚 ( 男) （George Polya，1887—1985），撰写过一部专门的书《怎样解题》。

波利亚在《怎样解题》一书中，将解题过程大致分成四个步骤：“理解题目”、“拟定方案”、“执行方案”和“检验反思”。如果我们能在平时的做题中不断实践和体会这个过程，不仅成功，而且必有收获，同时也可以或多或少地产生一种“学数学是一种乐趣！”的成就感、充实感，体会到一种不同的“我做题我快乐”的心情愉悦感！就如同我们认真学习一天，晚上躺在床上，莫名产生的那种心情舒畅的满足感、成就感和无意识的对自己行为的肯定和感觉自己会越来越好的自信！

对于这样的四个步骤到底应该如何做呢？下面，根据我的个人理解，一起来探讨一下具体每个步骤需要做的一些工作。我们重新把四个步骤给四个比较通俗的标题。

第一步 审题

审题，复述问题、理解问题. 这个步骤简要地说，就是标记，写出描述问题的关键性的字词与数学表达式，包括条件中的，也包括结论中的，并且明确条件与结论。具体实施还包括默念，并在草稿纸上重新抄一遍题目的过程！这也是平时老师在布置作业时，特别强调的，一定要抄题，抄题也是审题的一个重要环节！

在这一步，我们需要弄清楚要干什么？也就是明确结论、目标，做到有的放矢，确定思路探索的方向！方向正确，才能保证过程有效！当然也要明确已知条件，包括已知的描述、表达式、数据、图形等。并且引入适当的符号，转换文字描述为数学表达式。能够画图的一定画图，不管是几何图形，还是反映各符号、描述之间关系的图形。并以自己能够理解的，尽可能通俗地形式，重新叙述问题。

第二步 问题归类

中心思想：陌生问题熟悉化。这个步骤是探索问题解决思路的关键！改写条件、结论中的表达式为可能的各描述形式，转换、变形问题描述，对比已有知识结构中的问题类型，将问题归类为熟悉的问题！

从大的方向来讲，比如是求极限问题、还是求导问题（一元函数的全导数还是多元函数偏导数），是积分问题，还是微分方程求解；是无穷级数问题，还是向量代数与空间解析几何问题等。

归了大类，再根据条件和结论细分小类，最后归结到具体题型。对于固定题型，对于通常的练习、大类的考试来说，一般可以按照题型对应的解题思路与步骤来求解、验证得到结果。

如果这样不能一步到位解决问题，则可能就需要根据问题的归类，甚至有时候可能需要对问题从不同的角度思考，考虑对其重新归类来探索可能的求解思路。这个时候也就可能需要根据问题可能的类型，逐一尝试、探索了！

第三步 思路探索

在问题不能按照特定题型、固定思路与步骤求解、或验证的话，我们应该根据问题类型，在脑海里搜索对应于相应题型，各种可能的求解思路与方法，逐一探索；或者重新对问题进行归类，或者将问题拆分为各类小的、熟悉的问题逐步解决。这个探索、完成求解验证的过程，其实就是一个根据目标，不断改写条件、结论表达式，构造相应求解方法的条件和需要的表达式的过程！

探索的目标可能不仅仅是最终需要得到的解题目标，还包括探索过程中可能出现的各类中间目标，也就是拆分问题为各类熟悉的小问题的过程。只有解决了小问题，才能达成最终的大目标。大的成就必定是平时小收获的积累！也就是经常听到的：成功来自点滴积累！

在这个过程中，我们应该尽可能多地改写条件、或者结论中出现的，或者在审题过程中，转换得到的各种数学表达式！在改写的过程中，还要不断探寻、对比曾经熟悉的问题类型、或者解题思路，并且组合各种改写形式，如同搭积木一样，尝试性地探索解题过程，说不定在组合过程中一不小心就得到了需要的结论！

这个过程很多时候，尤其对于综合性的问题，其实也是一个不断失败，最后走向成功的过程！对于大题，一般不要理所当然地认为，可以一步到位找到解题方法，只有在不断的尝试、探索中，才能找到真正有效的解题思路与步骤！

经常有同学问：老师，老师，这个题目的思路是怎么想到的啊？怎么想到的呢，反复尝试探索得到的，说不定就是经历了多次的失败，经历了多次回头重来的过程！失败不可怕，可怕的不敢再去尝试、尤其是不敢坚持！

这个步骤，要求我们对教材中的基本概念、基本思想、基本方法和基本的例题、练习、结论非常熟悉，理解透彻，能够想得起，用得上！教材、课堂学习与平时练习是我们探索解题思路与方向的基础。

脱离教材、课堂做题，只追求数量的刷题，这是舍本求末，不仅理解、掌握不了真正的课程内容，实现不了学习目标，对做题也无法做到融会贯通，触类旁通！同时要特别注意，为保证解题过程的正确性、有效性，一定要记得探索过程得到的每个中间表达式与过程，都要有理有据！

第四步 检验过程与反思

除了个别思路单一，或所谓的偏题，除了出题者给出解答过程之外的没有其他解题方法的问题，经过以上步骤，基本上就可以探索出可能的解题步骤。一般以上过程在草稿纸上完成，真正需要提交的解题过程需要重新整理、完善！

在完善、提交过程之前，建议重新检验一下过程，是否每步都能做到有理有据、结论是否正确，千万不要功亏一篑。对于可能有多个解题思路的问题，力争尝试多种方法！尤其平时练习的时候，争取能够一题多解。

另外，做完题目之后，要有一个思考、总结的过程。平时练习要把握一个标准：练习不在多而在精，多理解、真掌握、能延伸、会拓广，举一反三、触类旁通！缺乏思考、总结的刷题过程，是一个自己骗自己的过程，在真正独立做题时，比如考试时，就会现出原形，不知道如何动笔！

那么，以上探索解题的过程在实际解题应用中是如何贯彻的呢？如何真正借助于以上解题思想提升解题能力，做到融会贯通，举一反三呢？少而精的练习题的选题标准是什么呢？我们又该如何选取呢？

这些问题，其实在咱们推出的）的真题详细探索解析过程，在）或给出的问题求解过程中都可以找到的答案！

今天的讲座内容就到这里，在第2讲中咱们将借助微分方程求解的一般思路和具体的例题，一起来体验一下问题求解的一般思路探索过程。