从轴对称角度理解——2024年常州中考数学第27题

从轴对称角度理解

2024年常州中考数学第27题

在2022版新课标中，对图形的轴对称的内容要求：

①通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分；

②能画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形；

③理解轴对称图形的概念：探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质；

④认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形。

对于轴对称概念，人教版数学教材八年级上册58页有如下描述：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁边的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

在几何综合压轴题中，往往存在动态几何图形，而在图形运动过程中，可能会产生轴对称现象，这也是新课标对图形变化的学业要求之一。学生可通过作图、想像，掌握图形变化过程中，哪些元素可能出现轴对称关系，并利用轴对称性质去探索这些几何元素间的关系。

2024年江苏省常州市中考数学第27题第3问，如果能够挖掘出其中的轴对称图形，则这道题几乎可以秒出答案。

题目

将边长均为6cm的等边三角形纸片ABC、DEF叠放在一起，使点E、B分别在边AC、DF上（端点除外），边AB、EF相交于点G，边BC、DE相交于点H．

（1）如图1，当E是边AC的中点时，两张纸片重叠部分的形状是_____________；

（2）如图2，若EF∥BC，求两张纸片重叠部分的面积的最大值；

（3）如图3，当AE＞EC，FB＞BD时，AE与FB有怎样的数量关系？试说明理由．

解析：

01

(1)要敢于大胆猜想，当△DEF的顶点E落在△ABC的AC边中点时，点B也在DF边中点处，下面我们来尝试证明这一结论：

连接BE，如下图：

对于等边△ABC，BE⊥AC，我们可求出BE=3√3，而对于等边△DEF，顶点E到边DF上一点B的距离即BE=3√3，显然这个距离就是顶点E到边DF的距离，说明点B为垂足，BE⊥DF，我们就得到了结论：点B是DF中点；

这样BE所在直线即是等边△ABC的对称轴，也是等边△DEF的对称轴，于是点G、H也关于BE轴对称，BG=BH，EG=EH，再利用三线合一分别得到∠GBE=∠GEB=30°，于是BG=EG，就得到了四边形BHEG四边相等，即它是菱形；

02

(2)当EF∥BC时，我们首先判断四边形BHEG的形状，如下图：

∠AEF=∠C=60°，而∠DEF=60°，所以∠CEH=60°，即△CEH是等边三角形，得∠CHE=60°，再加上∠ABC=60°，于是EH∥BG，四边形BHEG是平行四边形；

作EK⊥CH于点K，设CE=x，则AE=6-x，EK=√3/2·x，△AEG也是等边三角形，于是EG=6-x，现在可以表示平行四边形BHEG的面积了，S=√3/2·x(6-x)=-√3/2(x-3)²+9√3/2，当x=3时，S有最大值9√3/2；

03

(3)请特别留意本小题条件中的AE＞EC，FB＞BD，后面会对它的作用进行详细说明，现在我们需要探索线段AE和FB的数量关系，出于对等边三角形轴对称性的考虑，我们分别过顶点B和顶点E，在各自的等边三角形中作对边的中线，如下图：

由于等边△ABC和等边△DEF边长均为6，则它们本身就是一对全等三角形，因此很容易证明它们的高相等，即BP=EQ，再加上公共边BE，可得△BEQ≌△EBP，于是BQ=EP，又因为P、Q分别是AC、DF中点，所以AP=FQ，于是AP+EP=FQ+BQ，即AE=FB.

解题思考

本题的作图其实可以帮助我们加深对图形的理解，如何绘制本题的图形？

第一步，作等边△ABC；

第二步，在AC边上任取一点E；

第三步，连接BE，以BE为直径作圆；

【此时红色圆周上BE所对的圆周角均为直角】

第四步，以E为圆心，3√3为半径作圆(等边三角形的高是3√3)；

【此时圆E上任意一点到点E的距离均为3√3，这个距离也是等边三角形一个顶点到对边的距离】

第五步，两圆交点为M、N，先观察点M；

在红色圆中，∠BME=90°，即EM⊥DF，同时EM=3√3，以E为顶点，EM为高，构造等边△DEF即可完成作图；

在上图中，我们注意到两圆若相交，则有两个交点，分别是M、N，刚才我们构造了等边△DEF，我们同样可以连接EN，以E为顶点，EN为高，构造另一个等边△D'E'F'，如下图：

因为圆也是轴对称图形，并且两圆对称轴均是BE所在直线，因此M、N也关于直线BE轴对称，那我们分别以EM、EN为高所作等边三角形也是轴对称图形，即△DEF与△D'E'F'也关于直线BE轴对称，此时我们再回过头来看第3问，便可以秒杀了，如下图：

△DEF关于BE的轴对称图形是△D'E'F'，于是BF=BD'，借助第2问的推导，可知△AEG'和△BD'H'是等边三角形，四边形BH‘EG’是平行四边形，则AE=EG'=BH'=BD'=FB；

这一路推导，酣畅淋漓……

现在再来看条件AE＞EC，FB＞BD，应该明白它究竟想限制什么了吧？特别地，当点E为AC中点时，这两个等边三角形也重合了，变成了第1问的图形。

作为数学教师，研究几何作图是一项教学基本功，除了利用粉笔黑板完成教学作图之外，软件作图非常重要，几何画板也好，Grogobra也罢，懂得作图原理才能画好图，画出准确的图，通过软件作图，还可以帮助教师更深入理解几何综合题的命题意图，从而提升自已的命题水平，可谓一举多得。