新疆
微积分之六个数学不定积分计算步骤
1.计算∫(36x-4)dx/(18x²-4x+23)。
解：观察积分函数特征，对于积分函数的分母有(18x²-4x+23)'=36x-4，刚好是分母表达式，故本题可以用积分公式∫dx/x=lnx+c来变形计算。
∫(36x-4)dx/(18x²-4x+23)
=∫d(18x²-4x)/(18x²-4x+23),
=∫d(18x²-4x+23)/(18x²-4x+23),
=ln|18x²-4x+23|+C。
2.计算∫(9x²-33)²dx.
解：对此类型总体思路是降次积分，有两种思路，思路一是将积分函数2次幂展开，再分别计算不定积分，即：
∫(9x²-33)²dx
=∫(9²x⁴-594x²+33²)dx,
=∫9²x⁴dx-∫594x²dx+∫33²dx,
=1/5*9²x⁵-1/3*594x³+33²x+C.
思路二：通过分部积分进行计算，有：
∫(9x²-33)²dx
=(9x²-33)²x-∫xd(9x²-33)²，
=(9x²-33)²x-4*9∫x²(9x²-33)dx，
=(9x²-33)²x-4*9∫(9x⁴-33x²)dx，
=(9x²-33)²x-4*9²∫x⁴dx+4*9*33∫x²dx,
=(9x²-33)²x-(4/5)*9²x⁵+2/3*594x³+C。
3.积分∫dx/(x²-28x+361)的计算。
解：根据积分函数的特点，分母看作成二次函数，则判别式△=28²-4*361<0,即与x轴没有交点，故分母函数可以通过配方得到形如(x-a)²+c的形式，再根据不定积分公式∫dx/(1+x²)=arctanx+C变形计算即可，有：
∫dx/(x²-28x+361)
=∫dx/(x²-28x+196+165),
=∫dx/[(x-14)²+165],
=(1/165)∫dx/[1+(x-14)²/165],
=(1/√165)∫d(x/√165)/[1+(x-14)²/165],
=(1/√165)arctan[(x-14)/√165]+C。
4.计算∫(47/6x+48x/43)²dx.
解：本题主要采用将积分函数通过平方展开后，再分别进行积分，有：
∫(47/6x+48x/43)²dx
=∫[(47/6x)²+2*47/6*48/43+(48x/43)²]dx,
=(47/6)²∫dx/x²+752/43∫dx+(48/43)²∫x²dx,
=-(47/6)²/x+752x/43+1/3*(48/43)²x³+C。
5.计算∫(14x³-9x²+41)61(42x²-18x)dx不定积分计算
解:本积分函数的特征是变形指数低的部分，即后一项，又因为(14x³-9x²+41)'=42x²-18x,所以可以使用凑分法进行不定积分计算，则：
∫(14x³-9x²+41)61(42x²-18x)dx
=∫(14x³-9x²+41)61d(14x³-9x²+41),
=(1/62)*(14x³-9x²+41)62+C.
6.计算∫xln(51x-84)dx。
解:本积分出现自然对数与一次函数x的乘积形式，思路是将x凑分到积分单元中，再进行分部积分法，有：
∫xln(51x-84)dx
=(1/2)∫ln(51x-84)dx²，
=(1/2)x²ln(51x-84)-(1/2)∫x²dln(51x-84),
=(1/2)x²ln(51x-84)-(51/2)∫x²dx/(51x-84),
=(1/2)x²ln(51x-84)-∫(x+84/51)dx-(84/51)²∫d(51x-84)/(51x-84)
=(1/2)x²ln(51x-84)-(1/2)x²-84x/51-(84/51)²*ln(51x-84)+C。
特别声明：以上内容(如有图片或视频亦包括在内)为自媒体平台“网易号”用户上传并发布，本平台仅提供信息存储服务。
Notice: The content above (including the pictures and videos if any) is uploaded and posted by a user of NetEase Hao, which is a social media platform and only provides information storage services.
