物理学家的实验数据和数学家的计算结果，哪个更接近现实？

数学家和物理学家的争论是很有趣的。物理学家总是把自己的实验数据奉为金科玉律；而数学家则坚持说，实验不可能绝对精确，所得的数据只能是某种理论数值的偏差而已！

物理学家从天文望远镜中，看到了远方的星球正纷纷离我们而去。于是惊呼：“我们这个宇宙正在膨胀！”

数学家解析说：“这要看怎么说！君不见竞技场上的车赛， 甲、乙、丙、丁、戊各人都沿同一方向在环形跑道上行驶。甲的速度大于乙，乙的速度大于丙，丙的速度大于丁，丁的速度大于戊。但他们人人都说，别人正在离他而去！”

然而，值得欣慰的是，所有上面的争论，结果总是美好的，数学家为理论找到了实践模式，物理学家为实践找到了理论依据！

有一点是无可辩驳的 ， 即测量的量不可能绝对精确 。 要补充的是 ， 测量的偏差本身也遵循着一种规律 。 一位教师在统计自己任教的两个班级学生的成绩时 ， 得到 了以下数据表 。

学生成绩表

这位教师根据表画出了学生成绩分布直方图，这时他惊奇地发现：所得直方图很接近于一种两头低中间高的 钟形曲线。而这种钟形曲线,在许多场合都神秘地出现过！

1261年，我国宋朝数学家杨辉在《详解九章算法》一书中，记载了一幅图形，这个图形据称为12世纪的贾宪所创，不过如今人们都把它称为杨辉三角形或帕斯卡三角形，称为后者是由于法国数学家帕斯卡，曾于1653年使用过。

杨辉三角形的构造法则如下：三角形的两条斜边都由数字1组成，其余的数都等于它肩上的两数相加。下图是根据上述法则得到的，容易看出，每排数字的总和恰好都是一个2的方幂。

例如，第10排数字的总和为512=29，把这些数按列的分布画出坐标，我们可以连成一条相当规范的钟形曲线！

读者一定还记得，在2016年8月7日的里约热内卢奥运会上，我国山东选手张梦雪，打破奥运纪录，夺得中国奥运代表队的首枚金牌，并实现我国在10米气手枪奥运项目中三连金时激动人心的情景。

可是读者不知是否想过，神枪手也不可能百发百中，只是他们命中红心机会较多，而偏离红心的机会较少罢了！下图画出了神枪手(A)、普通射手(B)和一般人(C)射击命中率的钟形曲线，它们之间的区别是一目了然的！

要揭示神秘钟形曲线的奥秘，我们还得借助于射击的例子。

当我们瞄准靶心 O 开枪射击时，离靶心越远的地方自然着弹的可能性越小。今以靶心为原点，如下图坐标系建立直角坐标 系xOy,并令y=φ(x)为沿x 轴方向命中率的钟形曲线。

由对称关系,显然可设

φ(x)=f(x2)

如下图易知，在n 次射击中，区间 Δx 内的着弹点应正比于射击次数及命中区间的长度，即着弹数

Δn=nf(x2)Δx

从而 ， 在区间 Δ x 内命中的频率

Δpx =(Δn)/n =f(x2)Δx

同理 Δpy =f(y2)Δy

对于整个靶面来说，小阴影区ΔA的着弹频率Δp显然可以写成

Δp=ΔpxΔpy =f(x2)f(y2)ΔA

在平面上，以O 为原点另立uOv 坐标系，见下图。

使 U 轴恰过 A 点 。 由于着弹点的频率是与坐标轴选择没有关系的 ， 从而又有

Δp=ΔpuΔpv =f(u2)f(v2)ΔA

注意到在 xOy 中的A (x，y)点，在 uOv 中的坐标应为A(x2+y2,0)。比较 Δp 立得

f(x2)f(y2)=f(x2 +y2)f(0)

令f(0)=k，x2=α，y2=β，则上式化为

f(α)f(β)=kf(α+β)

这样的式子在数学上称为函数方程。上述函数方程的解为

f(α)=ke-bα

这是容易验证的。

因为离靶心越远，着弹可能性越小，所以f(α)为减函数。从而b<0。令b=-h 2

则得

f(x2)=ke-h2x2

所以 y=φ(x)=ke-h2x2

这就是神秘钟形曲线的函数式，揭开这一秘密的是法国数学家皮埃尔·拉普拉斯(PierreLaplace，1749—1827)和德国数学家高斯。

钟形曲线也称正态分布曲线，或高斯曲线，是概率与统计这门数学分支最重要的曲线之一。

版权归原作者所有

来源： 《给孩子的数学故事书》

作者： 张远南 张昶

编辑：张润昕

本文转载自《原点阅读 》微信公众号

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