欧拉与他的“欧拉线”

莱昂哈德·欧拉（1707~1783）

一个比较方便记忆这个结论的方法是观察特殊情况.我们可以构造一个直角三角形 ，则显然垂心 与点 重合，外心 为斜边 的中点.此时欧拉线即为斜边上的中线，显然有 .

大数学家欧拉当时是如何发现并证明这个神奇的结论的呢？今天我们就来追寻大师的足迹，一起探索欧拉线的诞生过程.

1 欧拉线定理的证明

我们暂且将欧拉线定理的发现过程按下不表，让我们先来看一看欧拉在发现这个定理之后是如何巧妙地证明它的.这个证明被记录在《100个初等数学问题——历史和解》（100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solution）一书中.

如图，在 中， 为 中点， 为重心.则有

设 为外心，延长 到 ，使 ，连结 ，则有

则有 ，可知 ，又因为 ，则有

同理可得

因此， 是垂心，欧拉线定理得证!

欧拉的证明十分简洁巧妙，一切看起来又是那么自然且顺理成章.然而，欧拉发现欧拉线的过程真如上述证明那般“轻松”吗？遗憾的是，事实并非如此.欧拉在上述证明中作出 这一步其实是在知道 、 、 三点分线段的比例关系后才对其进行如此构造，而实际上欧拉一开始是并不知道线段的长度关系的.那么，欧拉到底是如何知道欧拉线的存在的呢？大家不妨现在准备好纸笔，我们跟着欧拉一起来计算一下.

2 欧拉线定理的发现

欧拉线定理的发现过程被记录在《美国数学月刊》Ed Sandifer先生一系列关于欧拉解决问题的文章：How Euler Did It？其中就有一篇介绍了欧拉线被发现的过程.

起初，欧拉对三角形海伦公式很有兴趣，他想到：三条边既然能够唯一确定一个三角形（及它的面积），那么三角形的相关性质也应该可以由三条边来表示.进一步地，能否用三边来研究三角形中的一些特殊点呢？比如三角形的几个重要的心：重心、垂心、内心、外心.

于是，欧拉就运用海伦公式结合当时还没被广泛使用的坐标思想进行了如下的探索：

由海伦公式，设 ，则 的面积 可以表示为

将此结论记为等式（1），后面我们会反复运用它.

我们先尝试计算垂心 的坐标.如图， 、 分别为边 、 上的高.

由余弦定理得

得到

同理

又由 且 ，得到

运用等式（1），将

代入上式得到

可以得到垂心坐标

我们再尝试计算重心 的坐标.如图，点 、 分别为边 、 的中点.点 、 在 上的投影分别为 、 .

那么

另一方面有

可以得到重心坐标

最后，我们来尝试计算外心 的坐标.如图， 、 是边 、 的中垂线， 是边 上的高.

则根据之前的推理可知

由外心的性质可得 ，因此 .

得到

可以得到外心坐标

至此，欧拉通过解析几何的方法用三角形三边边长 、 、 和面积 表示出了三角形的垂心 、重心 、外心 的坐标.

但是现在若仅仅通过观察这三个点的坐标根本无法知道垂心、重心、外心之间有何联系.

欧拉对这三个坐标进行了进一步的研究.在那个时代还没有发明出向量这样的数学工具.那么，欧拉唯一能做的，就是凭借其天才般的计算能力进一步研究这些点之间的距离关系.我们作为后来者重新走欧拉这条艰辛的计算之路，也难免不倒吸一口凉气.让我们跟随欧拉的脚步开始计算！

欧拉比对这三组结果后发现：

因此欧拉得出结论：

的垂心 、重心 、外心 三点共线，且 .

就这样，欧拉线褪去了它神秘的面纱，被欧拉展现在了世人面前！

3 欧拉给予我们的启示

欧拉发现并证明欧拉线的过程从今天的视角来看非常繁琐，甚至上述过程还略去了欧拉做的另一件事——他用同样的方法去计算了三角形的内心 的坐标，却没有发现相应的规律.

尽管如此，我们仍然可以从欧拉的工作中汲取智慧：一条数学定理的发现和证明过程很多时候难免会走一些弯路，即使是像欧拉这样的数学大师，刚开始的探索过程往往也可能是笨拙的.

我们学习数学要有探索精神，同时扎实地掌握计算基本功，对平时的一些问题（即便很小）要持续研究，不断对研究方法进行改进.想想欧拉这样的大数学家，他就不拒绝研究（欧拉线）这样的初等数学问题，一个个细小的积累最终使他成为青史留名的伟大数学家，欧拉的真实经历正印证了《劝学》中的名言：不积跬步，无以至千里.不积小流，无以成江海！

参考文献[1]彭翕成.欧拉线的发现与证明[J].数学教学,2011(05):25-27+50.

来源：大小吴的数学课堂

编辑：蓝多多

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