余弦定理的推广及三角形边的几何意义证明费尔大马定理

费尔马大定理的命题为：方程a^n + b^n = c^n在 a、b、c、n都是非零正整数的情况下，n的值只能是1和2。

根据费尔马大定理的表达式可知：费尔马大定理成立的必要条件是：三个数a、b、c较小两个数的和等于或大于第三个数，否则费尔马大定理无解。较小两个数之和等于第三个数，即c=a+b，n取1，a，b，c可以为正整数无须证明。

三个数的关系，当较小两个数之和大于第三个数，这三个数一定能构成三角形，也就是是说，以这三个数为边长一定能构成三角形。依据费尔马大定理的命题，这三条边不能相等，也就是说，不能为等边三角形，一定是不等边三角形，假设不等边三角形最大边c，也就是说费尔马大定理c可以根据余弦定理确定，c^2 = a ^2+ b^ 2 - 2ab cosθ，θ是三角形c边所对的角，显然θ一定大于60度小于180度，由于c是不等边三角形的最大边，所以c边一定大于( a ^2+ b^ 2 - ab )^1/2。当θ等于90度，费尔马大定理的命题是勾股定理：c^2 = a ^2+ b ^2，所以n=2费尔马大定理的命题得以证明。

将余弦定理思想推广到一般，根据余弦定理得：c^2 = a ^2+ b^ 2 - 2ab cosθ，两边开方得：c=( a ^2+b^ 2 - 2ab cosθ)^1/2，再两边n次方得余弦定理的推广，c^n=( a ^2+ b^ 2 - 2ab cosθ)^n/2，c^n就是费尔马大定理:a^n + b^n = c^n的c^n，那么n大于2时，:a^n + b^n 和( a ^2+ b^ 2 - 2ab cosθ)^n/2能相等吗？结论是不能。

当n大于2时，θ必然大于60度小于90度，才可能成立。因为（a ^n+ b^n）一定是正整数，θ大于60度小于90度 , 余弦定理的推广得：c^n=(a ^2+ b^ 2 - 2ab cosθ)^n/2必须是整数才有可能成立。只要θ不等于90度，（a ^2+ b^ 2 - 2ab cosθ)一定存在ab项，在存在ab项的条件下，c^n=( a ^2+ b^ 2 - 2ab cosθ )^n/2，分析c^n是整数的条件：根据三角形变的几何意义，三角形边的平方是面积，即( a ^2+ b^2 - 2ab cosθ )是面积，所以( a ^2+ b^ 2 - 2ab cosθ )不可能是不等于2的平方，否则就是面积等于体积或面积等于线段亦或是其它。不是整数的数的大于2的n次方一定不是整数，由于a、b是非零正整数，θ大于60度小于90度（a ^2+ b^ 2- 2ab)一定存在ab项，（a ^2+ b^ 2 -2ab)是一个完全平方数，c^n才是整数。

由于a、b是整数，（a±b）也是整数，有，且只有cosθ=±1，等于（a±b）^2是一个整数的平方，此时θ等于180或等于0度，与约束条件θ大于60度小于90度矛盾，在三角形三边及θ大于60度小于90度的约束下，( a ^2+ b^ 2 - 2ab cosθ )=d^2，d一定不是整数。不是整数的数的大于2的n次方一定不是整数，( a ^2+b^ 2 - 2ab cosθ )不可能是一个整数的平方，说的再具体一点，( a ^2+ b^ 2 - 2ab cosθ )能等于整数±有理小数等于有理小数再等于有理小数的平方，例如：6.25=2.5^2；( a ^2+ b^ 2 - 2ab cosθ )绝对不能等于整数±最简二次根式（无理小数）等于最简二次根式（无理小数）再等于最简二次根式（无理小数）的平方，例如：N±最简的二次根式不可能等于最简二次根式的平方这类小数，N是大于1的整数。

也就是说，n大于2时，c^n不可能是整数（不是整数也不是二次根式的无理数大于2的n次方一定不是整数））。由于a^n + b^n必然是整数，而c^n=( a ^2+ b^ 2 - 2ab cosθ )^n/2必然不是整数，不是整数不可能等于整数，所以当n大于2时，a^n + b^n =c^n，n无解。

结论：方程“a^n + b^n = c^n”在 a、b、c、n都是非零正整数的情况下，n的值只能是1和2费尔马大定理的命题证明完毕。