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揭秘0.618和1.618,哪个才是真正的黄金分割比?

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黄金分割是一个非常有趣且重要的数学概念,以其独特的魅力横跨艺术设计、建筑等多个领域,成为了当代创作中不可或缺的灵感源泉。然而,关于这个比例究竟是0.618,还是1.618,有朋友还有疑问?今天我们就详细来探讨一下。

黄金分割比的定义

黄金分割比是一种特殊的比例关系:如果一条线段被分割为两段,使得整个线段与较长部分的长度之比等于较长部分与较短部分的长度之比,那么这个比例就被称为黄金分割比。这个比值通常用希腊字母 φ(phi)表示。

设一条线段的总长度为 a + b,其中 a 是较长部分,b 是较短部分。那么,黄金分割比定义如下:

为了求出这个比值,需要解这个方程。

代数方法求解黄金分割比
  1. 令 a/b = φ: 这样 (a + b)/a = φ
  2. 进一步简化方程: 化简左侧式子 1 + b/a = φ ⟹ 1 + 1/φ = φ
  3. 构建二次方程: 为了求解 φ,我们将方程变形为标准的二次方程形式: φ² = φ + 1 整理得到: φ² - φ - 1 = 0
  4. 求解二次方程: 使用二次方程的求解公式 x = (-b ± √(b² - 4ac))/(2a),我们可以得到: 显然,作为一个比例关系,φ 应该是一个正数,因此我们选择 φ ≈ 1.618 作为黄金分割比的值。但这并不意味着 0.618 没有什么意义。

另一个比值 0.618 从何而来

事实上,0.618 则是 φ 的倒数——也就是 b/a 的值。

0.618 也被称为“黄金比例共轭”,也可以表达为:

x²-x-1=0的根,By Jacob Rus - Own work, CC BY-SA 4.0图自维基

所以说,黄金分割比可以有两种不同的数值表现形式:1.618 和 0.618,它们实际上是互为倒数的关系,分别代表了不同的比例关系:

  • 使用 1.618 来表示整体与较大部分的比。
  • 使用 0.618 来表示较小部分与较大部分的比。

这两个值,犹如镜像中的双生花,各自展现着黄金分割的不同面貌。理解这两个数值及其关系,才好在不同背景下正确理解和应用。

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