伪瓜豆真概念——2024年浙江省中考一模第24题

伪瓜豆真概念

2024年浙江省中考一模第24题

二次函数压轴题，读题环节相当重要，很多关键信息都在题干中描述得非常清楚，也隐藏得很巧妙，通常情况下，我在课堂上是引导学生读题，往往读一个条件就分析这个条件可能会有什么样的结论，这个环节会耗费较多课堂时间，然而事实证明，磨刀不误砍柴工。

同时对于解题过程的规范性，平时就要严格要求，例如全等三角形的书写，教材上规范如下：

即用全等符号连接的两个三角形名称，对应字母要写在对应位置上，这也是概念教学的一部分；

瓜豆原理是个很好听的名字，归纳了诸多线段和最值问题，不过我个人认为，叫什么并不重要，学会解决此类问题的方法，对于学生来讲，更实在。

解题模型是个好东西，但仅仅只是用名字去显摆，实际解题中漏洞百出，这种小聪明，还是少一点比较好。

2024年浙江省中考数学第一次模拟，用这道题来压轴，还是有充足理由的，虽然成功解答出来的人，会觉得不那么难，但一眼到结论去硬套模型的，也大有人在，从某种意义上说，这道题，隐隐有反套路的意图。

题目

解析：

01

(1)一点小技巧，设函数解析式之前，先看看条件给的点坐标，它们都在x轴上，所以选择交点式最为明智，并且在求解过程中，稍微玩点花样，会让效率提升不少；

设y=a(x+6)(x-2)，然后我们只计算常数项为-12a，显然-12a=4，于是求得a=-1/3，所以结果为y=-1/3x²-4/3x+4；

02

(2)首先根据点Q坐标和点B坐标，求出直线BQ的解析式为y=1/3x+2，于是N(0,2)，线段AN=2；

①这里必须对全等的条件认真解读，题目给出的条件是严格按教材上的对应关系书写的△BME≌△AOM，请注意对应关系，结合图形，我们知道BM=AO=4，ME=OM，∠BME=∠AOM=90°于是点M有两种可能，分别位于点B左侧或右侧，且到点B的距离为4个单位，即(-2,0)或(-10,0)我们先来论证它们的存在性：

若M(-2,0)，如下图：

在这种情况下，点E分别有两种情况，由于此时OM=2，因此ME=2，即E1(-2,2)或E2(-2,-2)，到底哪个才符合题意？我们继续看题目条件中的四边形ANEM是平行四边形，这四个顶点顺次连接，只有E2(-2,-2)符合，如下图：

若M(-10,0)，如下图：

显然，无法构成平行四边形ANEM；

综上所述，点E坐标只可能是(-2,-2)；

②按要求作图如下：

不妨将新增的点P、点H坐标求出来，直线AM解析式可求，为y=2x+4，它与直线BQ交点可求，为P(-6/5,8/5)；

直线BE解析式可求，为y=-1/2x-3，它与直线AM交点可求，为H(-14/5,-8/5)；

因此△BPH形状大小确定，这并不妨碍我们探索一下它是否特殊三角形，以方便后面的推导；

点P与点H，横坐标相差8/5，纵坐标相差16/5；

点B与点H，横坐标相差16/5，纵坐标相差8/5；

我们借助一下图象，更直观地发现结论，如下图：

由前面推导出来的各线段长，可证明Rt△BDH≌Rt△HFP，这就很容易得到△BPH是等腰直角三角形，并且利用平面直角坐标系内两点距离公式，分别求出BP=8√10/5，BH=8√5/5；

在△BPH旋转过程中，BP长度始终不变，而OH的长度随点H的位置改变，那么，点H何时离点O最近？

由于旋转中心是点B，且BH长度不变，因此点H在以B为圆心，BH为半径的圆上，点O为圆外一点，则当点H位于B、O之间的x轴上时，OH最短，此时OH=6-8√5/5；

于是BP+√2OH的最小值是8√10/5-√2(6-8√5/5)=6√2.

解题反思

在本题第2问中，平时规范较好的学生，几乎可以瞬间秒掉，要知道在大脑中构图的速度远超过在纸上画图，也远胜过用软件作图，由此带来的第一个思考是，如何让学生能够在脑中构图？

本题最后一问中，需要学生作图，而作图过程，也是再一次审题的过程，准确理解题目中的作图语言，是基本功，例如读到旋转想到圆。

那我们可否不证明△BPH是等腰直角三角形呢？当然可以，这并不影响求解过程，只是观察到特殊图形而不去验证，实在说不过去，并且特殊直角三角形的边长数量关系也可以帮助我们减少计算量，也算是个理由吧！

学生中有看到题目最后BP+√2OH就急着说用瓜豆原理的，课堂上我并不反对用模型解题，然而我说的更多的一句话是，老实人不吃亏，就按平时的常规思路出发，一步步走下去，解题速度并不会慢。脑子里有模型是好事，能用好才是真的好。

回到第一个问题，如何用大脑构图？

对于普通学生来讲，尺规作图是必经之路，人教版教材将尺规作图分散配置在各章节，自有考量，在平时教学中，更多的是学生看到老师在黑板上作图，老师是否用规范语言描述，是否规范用教具作图，极为重要，哪怕用软件，也要强调几何语言，在这种熏陶之下，再辅以耐心指导，这些几何语言和作图操作才能深入人心，徒手画圆作为炫技可以，拿来教学生可不行。

而考察学生尺规作图，除了课堂上用直尺圆规“真刀真枪”实践之外，作图练习题必不可少，而其中无刻度直尺作图(包括网格作图和无网格作图)，是锻炼作图能力的利器，要知道作图并不仅仅是把图形画出来，更需要在作图过程中思考，将学生所学几何知识运用起来；

几何变换中，旋转也需要具备“圆规”思想，因此这一类习题也极锻炼学生构图能力；

现在再来看湖北省武汉市中考数学卷，无刻度直尺作图和旋转变换几何综合题，应该是有深意吧！