量子模拟在做啥？又有啥用？ | 科到了

孙政杭 中国科学院大学 中国科学院物理研究所

近年来，量子科技取得了重大的进步。随着人工量子系统的可操控性、扩展性以及相干性的显著提高，人们开始基于这些人工量子系统建立可编程的量子计算机。可编程的量子计算机的重要应用之一是实现量子算法，比如实现能快速找到一个整数的质因数的Shor算法[1]。然而，目前的量子计算机仍是含有噪声的，也就是说量子计算机给出的结果有一定的概率是错误的。在含噪声的量子计算机上执行对精度有较高要求的量子算法，往往不能给出比较令人满意的结果。著名物理学家John Preskill指出，现在的量子计算机是含噪声的中等规模量子（Noisy Intermediate-Scale Quantum, NISQ）计算机，我们所处的时代也被称为NISQ时代[2]。

那么，问题来了，在NISQ时代，我们是否能用量子计算机做出有意义的工作呢？答案是肯定的，目前，量子计算机最重要的应用之一就是量子模拟。量子模拟指的是用量子计算机去模拟一个用其他实验方法难以直接研究的复杂量子系统[3]。这一思想最早由1965年诺贝尔物理学奖获得者理查德.费曼提出。当我们用经典计算机去模拟由N个量子比特组成的复杂系统时（即系统的尺寸为N），一般情况下，我们要处理一个维数为 的矩阵，这种维数随着系统尺寸呈指数形式的增长现象被称为指数墙。这堵指数墙的存在，极大地限制了我们能够用经典计算机去精确模拟的复杂量子系统的尺寸。但是对于量子计算机则不会出现指数墙的问题，用一个N量子比特的量子计算机就可以模拟系统尺寸为N的复杂量子系统。用于实现量子模拟工作的量子计算机也被称为量子模拟器。

量子模拟主要讨论非平衡动力学过程， 为我们所要模拟的哈密顿量，我们假设其为一个孤立系统，那么该系统的非平衡动力学过程就可以用薛定谔方程来描述，即 ，其中， 为系统的初始状态， 。量子模拟则是通过量子计算机实现一个与U类似的幺正演化U’，以及一个与 类似的量子态 ，进而来模拟哈密顿量 的相关性质。量子模拟的示意图如下图所示。

本文将系统地介绍两种不同形式的量子模拟方案，即类比型量子模拟和数字型量子模拟。由于类比型量子模拟与实现量子计算机的人工量子系统本身性质有较强的关联性，因此，我们在讨论类比型量子模拟时，也会简单地介绍当下广受关注的两种实现量子模拟的系统，即超导量子比特线路以及中性里德堡原子阵列。除此之外，我们还会介绍新兴的变分量子模拟。

第一类量子模拟为类比型量子模拟。类比型量子模拟指的是依靠目前量子模拟器中现有的量子资源，直接模拟一个特殊的哈密顿量的演化过程。类比型量子模拟所研究的哈密顿量与量子模拟器本身的性质有很大的关联，利用不同量子模拟器实现的类比型量子模拟适合研究的物理问题往往是不同的。接下来，我们将给出两个基于不同人工量子系统的类比型量子模拟的例子，通过这些例子，我们也会对这些作为量子模拟器的人工量子系统，即中性里德堡原子和超导量子比特，的基本性质进行简单介绍。

第一个例子是利用中性里德堡原子阵列来模拟量子伊辛模型。得益于现有的发展比较成熟的光镊技术，人们可以较精确地来操控中性里德堡原子。一个流行的基于里德堡原子的类比型量子模拟方案是选取基态 和里德堡态 来编码量子比特，这时，对于一个由N个原子组成的一维链，其哈密顿量可写为[4]

其中：

Δ表示失谐的大小，Ω为让态 和 之间耦合的相干激光的拉比频率。另外， 为两个在里德堡态上的原子i和原子j间的相互作用，相互作用强度 与原子间的距离 为 。利用中性里德堡原子系统即可以实现上述哈密顿量的非平衡动力学，并用于研究量子伊辛模型中的相关现象。最近，来自美国哈佛大学的Mikhail Lukin教授研究组，利用光镊控制的二维里德堡原子阵列，对二维量子伊辛模型进行了类比型量子模拟，并成功得到了这一模型的相图[5]，相关结果如下图所示：

第二个例子是利用超导量子比特线路来模拟硬核玻色子的Su-Schrieffer-Heeger （SSH）模型。两个通过电容耦合的超导量子比特，其相互作用可用哈密顿量

来描述，这种相互作用形式被称为XX相互作用，其中J为两个量子比特之间的相互作用强度，通过调控特定量子比特的交流磁通偏置，我们可以对相互作用强度J进行精确操控。如下图所示，对于一个一维的超导量子比特链，我们定义由两个分别标记为a和b的两个量子比特组成的比特对为一个单位晶包，单位晶包内的两个量子比特间的相互作用为 ，单位晶包之间的两个量子比特间的相互作用为 ，那么，由N个单位晶包组成的SSH模型，其哈密顿量可写为

当 时，系统处于对称性保护的拓扑相，当J21时，系统处于拓扑平庸相，这两个量子相之间的拓扑相变点为J2=J1。通过上述讨论，得益于超导量子比特线路中两量子比特间的相互作用强度的可编程性，我们可以用这一量子模拟器实现ssh模型的动力学演化，并进一步研究其中的拓扑性质[6]。

从上述讨论中可以看出，类比型量子模拟有一定的局限性，即模拟的系统依赖于量子模拟器本身的哈密顿量的形式。例如，超导量子比特间的相互作用为XX形式，那么其则很难直接用于执行含有伊辛形式相互作用 的系统的量子模拟。那么是否有更加通用的量子模拟方法呢？下面，我们来介绍第二类量子模拟，即数字型量子模拟。通过下述讨论可以看到，比起类比型量子模拟，数字型量子模拟有更高的灵活性以及通用性。数字型量子模拟的基本单元是量子门操作，包括单比特旋转门以及两比特的纠缠门操作，举例说明，单比特门 是一个让量子比特绕布洛赫球的α(α=x,y,z)轴旋转角度θ的操作,通过一系列不同的形如 α θ 的操作可以构造出更复杂的单比特门，比如哈德玛门H就可以通过依次进行单比特旋转 和 来实现。一个典型的两比特的纠缠门为CZ门，是一个维数为4的对角矩阵，其定义为CZ=diag(1,1,1,-1)。如下图所示，利用CZ门和一系列单比特门就可以构造两比特的CPhase门，其定义为。

接下来，我们以一个在粒子物理学中广受关注的复杂模型，即格点施温格模型作为例子，来详细介绍数字型量子模拟。格点施温格模型的自旋形式哈密顿量可写为

其中：

哈密顿量 中的参数m为费米子的质量，w和J是与费米子与光相互作用强度以及格点间距有关的参数。可以看出，哈密顿量 的形式比较复杂，该哈密顿量不能直接对应现有的量子模拟器，所以很难通过类比型量子模拟来研究。数字型量子模拟为研究该模型提供了新的思路。

数字型量子模拟的重要基石是Suzuki-Trotter分解，即对于哈密顿量 ，对于一个较短的时间间隔δt，其时间演化可近似为 。对于自旋形式的格点施温格模型 ，其Suzuki-Trotter分解为[7]。在量子计算机中，可以通过量子门操作，分别实现上述三个幺正演化过程，即 δ ， δ 以及 δ 。具体的量子线路如下图所示：

数字型量子模拟并不依赖于实现量子模拟的具体系统，无论是中性里德堡原子还是超导量子比特线路，只要能实现高保真度的单比特和两比特门，就可以实现上述量子线路，进而对格点施温格模型进行数字型量子模拟。比起类比型量子模拟，数字型量子模拟不会依赖于量子模拟器本身哈密顿量的形式。尽管如此，数字型量子模拟也有一些缺点，目前我们只能实现含噪声的两比特门，为了模拟更长时间的量子态，量子线路的深度以及两比特门的个数也会随之增加，这会导致两比特门噪声的积累，所以在NISQ时代，数字型量子模拟只能用于模拟较短时间的非平衡动力学过程。此外，随着量子比特数的增加，两比特门的个数及其积累的噪声也会增加，这也对数字型量子模拟的可扩展性产生了挑战。

变分型量子模拟是最近发展较快的的一种新兴量子模拟方法。变分量子模拟是利用现有的量子器件实现一个参数化的量子线路，从而制备一个参数化的量子态。然后结合经典计算机中的优化算法，对量子线路中的参数进行优化，从而使得产生的量子态能够满足特定的要求[8]。这种量子模拟的优势在于能够综合利用量子计算机和经典计算机的计算资源来完成一个特定的任务。变分型量子模拟的重要应用之一是制备复杂量子多体系统的基态，为实验上观测相关的基态性质提供了一个新的途径。

下面，我们给出一个变分型量子模拟的具体例子。化学分子是重要的量子多体系统，求解其基态能量也是量子化学这一领域关注的重要问题。一般来说，化学分子的哈密顿量形式非常复杂，利用类比型或数字型量子模拟很难研究。比如LiH分子，其哈密顿量的形式为，其中， ，分别对应二维单位矩阵以及泡利矩阵。举例说明，当该分子的化学键长为1.545埃米时，其哈密顿量各项系数由下表给出

早在2017年，美国的IBM公司就用超导量子比特线路系统构造了参数化的量子线路，通过不断迭代线路中的参数，优化得到LiH分子在不同化学键长下的基态能量[9]。这一工作所用的量子器件、参数化量子线路以及实验结果如下图所示。我们注意到，实验得到的最低能量与理论上的基态能量值仍有一些差距，这是由量子计算机的噪声导致的。随着量子门保真度的进一步提高以及一些错误缓解方案的提出，我们可以期待量子计算机给出更高精度的基态能量结果。

本文简要地介绍了量子模拟的思想和基本方法。通过展示近年来一系列的量子模拟实验成果，可以看出，量子模拟是量子计算机在NISQ时代的重要应用之一。随着量子计算机中量子比特数的增加、操控量子比特精度的提升以及量子计算机中噪声的进一步抑制，我们可以预见，通过量子模拟，越来越多的新奇量子现象会被实验验证，在量子多体物理领域的一些具有挑战性的问题也会得到解决。

参考文献

[1] Monz T, et al. Realization of a scalable Shor algorithm[J]. Science, 2016, 351: 1068.

[2] Preskill J, Quantum computing in the NISQ era ane beyond[J]. Quantum, 2018, 2: 79.

[3] Georgescu I M, Ashhab S, Nori F. Quantum simulation[J]. Rev. Mod. Phys., 2014, 86: 153.

[4] Browaeys A and Lahaye T. Many-body physics with individually controlled Rydberg atoms[J]. Nat. Phys., 2020, 16: 132-142.

[5] Ebadi S, et al. Quantum phases of matter on a 256-atom programmable quantum simulator[J]. Nature, 2021, 595: 227-232.

[6] Cai W, et al. Observation of topological magnon insulator states in a superconducting circuit[J]. Phys. Rev. Lett., 2019, 123: 080501.

[7] Nguyen N H, et al. Digital quantum simulation of the Schwinger model and symmetry protection with trapped ions[J]. PRX Quantum, 2022, 3: 020324.

[8] Kokail C, et al. Self-verifying variational quantum simulation of lattices models[J]. Nature, 2019, 569: 355-360.

[9] Kandala A, et al. Hardware-efficient variational quantum eigensolver for small molecules and quantum magnets[J]. Nature, 2017, 549: 242-246.

编辑：穆梓

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