为什么单因素分析和多因素分析的结果不一样？

本文转载自微信公众号“小白学统计”，感谢作者授权。

今天这篇文章，先从问题入手，给大家解释一个最常见的问题，也是临床大夫最常问的一个问题，那就是：为什么我用单因素分析，结果和多因素分析不一样？当然，今天仅对一个例子解释，并不是很全面，但可以作为一种思路，给大家借鉴一下。

下面说一个例子，目的是分析某药物治疗身高后，身高有所变化，这种变化的影响因素有哪些？有一个因变量，即身高的变化情况（已做标准化）；有3个自变量，分别是用药前身高（已做标准化）、用药时长、初始骨龄。分析这3个变量哪个对身高变化有影响。这是一种很常见的分析思路，探讨危险因素。

首先，我们先看单因素分析结果，如下图所示：

统计分析结果显示，用药前标准化身高对身高变化的影响有统计学意义（β=0.64，P<0.05），用药时长无统计学意义（β=0.10，P=0.30），初始骨龄的影响无统计学意义（β=0.02，P=0.74）。

看到这里，然后再看看散点图，大家可能就会得出结论，只有用药前身高才会影响身高变化情况。

那我们再把这3个变量都纳入模型，做一个多因素分析看看，结果如下：

可以看出，用药时长的P值几乎已经接近0.05，可以认为有统计学意义了。而且从系数变化上来看，用药时长的系数从单因素的0.10变成了0.19，几乎增大了一倍。其它2个因素尽管也有变化，但不明显。那我们这里就讨论一下，为什么用药时长会变化这么大？

通常对于这样的情形，首先最好利用散点图看一下它们的关系，下面是3个变量的相关散点图。

可以看出，用药时长与初始骨龄具有较强的负相关，与用药前标准化身高也有一定的负相关。再回头看看前面的图，用药前标准化身高与身高变化是正向关系，初始骨龄与身高变化也是正向关系，而用药时长与身高变化也是正向关系。

这3个正向关系说明了什么呢？下面这段话大家要仔细体会，一句一句地读。

首先，用药时长与身高变化是一种正向关系，但是，由于用药时长与初始骨龄、用药前身高都呈负向关系，而初始骨龄、用药前身高与身高变化又是正向关系，结果就导致用药时长与身高变化的正向关系（由于与初始骨龄、用药前身高都呈负向关系）被初始骨龄和用药前身高给拉低了。

所以，这就是为什么单因素分析中，用药时长没有统计学意义的原因，因为它同时被2个变量给拉低了。而多因素分析中，把这两个变量给校正掉了，相当于去掉了它们2个变量的影响，这时候就恢复了用药时长自己的作用了。

再举个通俗的例子，比如，甲（用药时长）在往前推一个箱子（身高变化），而乙（初始骨龄）和丙（用药前身高）却在拉着甲往后拽，结果就导致甲推箱子就很慢。一旦校正了乙和丙的影响（相当于去掉它们俩的拽的作用），这时候甲推箱子的速度就会变快了。

如果初始骨龄和用药前身高与用药时长的关系不是负向关系，而是正向关系，那么多因素结果就不会是这样，而是会出现这样的结果：用药时长的参数估计值会比单因素分析的值更小，比如可能会从原来的0.1降为0.05，而不是现在增加到0.19。大家能想明白什么道理吗？

总之，如果今后你发现单因素分析结果和多因素分析结果不一致，不要像有的人说的“哪个P值小我就选择哪个结果”，要仔细分析一下。本文所介绍的只是一种情形，并不是说所有的单因素和多因素不一致都是这种原因（但可能很多情况下都是这种原因）。即使你实在搞不懂，也可以请统计学家帮忙，也许有时会获得意想不到的发现。