关于楼梯悖论3＋4 = 5的解释

楼梯悖论中3＋4明明等于7，而为什么我们又认为3＋4等于5，这到底是哪里出了问题呢？其实这里我只要引入向量这个概念，这个问题就迎刃而解了。

我们知道空间内有一点P（x1，y1），向量OP＝x1i＋y1j，并且向量的模ⅠOPⅠ＝√（x²1＋y²1）。

同理，若空间内有一点Q（x2，y2），向量OQ＝x2i＋y2j，并且向量的模｜OQⅠ＝√（x²2＋y²2）。

那么就有：

向量PQ＝（x2－x1）i＋（y2－y1）j。

向量的模｜PQ丨＝√〔（x1－x2）²＋（y1－y2）²〕。

cosθ＝向量PQ／向量的模（丨PQ丨）＝〔（x2－x1）i＋（y2－y1）j〕／√〔（x1－x2）²＋（y1－y2）²〕。

其中θ为向量OP与向量OQ的夹角。

回到楼梯悖论中来。我们之所以认为3＋4=7，是因为我们将楼梯投影到二维的面上，每阶楼梯的底相加等于投影到二维面上的底，每阶楼梯的高相加等于投影到二维面上的高，这里每阶楼梯的底和高是线段。

但是，当我们用极限思维处理时，认为3＋4=5，是因为我们将楼梯投影到一维的线上，每阶楼梯的底相加等于投影到二维面上的底，每阶楼梯的高相加等于投影到二维面上的高，这里每阶楼梯的底和高是点。

其中线段是一维的，而点是0维的。那么一维的线段和0维的点有什么区别呢？其实是有区别的，区别就是方向性。现假设楼梯悖论中每阶楼梯的底为△a，每阶楼梯的高为△h。并且a＝n△a，h＝n△h。

向量△a＝［（a／n）i，0］。

向量△h＝［0，（h／n）j］。

向量△ah＝［－（a／n）i，（h／n）j］。

同时：

向量△ah＝丨△ah丨cosθ＝〔√［（－a／n）²＋（h／n）²］〕cosθ。

其中θ为向量△a与向量△h的夹角。

当3+4=7时，n远远小于＋∝，每阶楼梯可以看成是一个线段，因为a≠h，所以△a≠△h，且θ≠k∏（其中k∈N）。

所以：

向量ah＝n向量△ah＝n〔－（a／n）i，（h／n）j〕＝n（丨a／n丨＋丨h／n丨）＝n（a／n＋h／n）＝a＋h。

当3＋4=5时，n→＋∝，每阶楼梯可以看成是一个点（一个半径极小的圆），所以△a＝△h，且θ＝k∏（其中k∈N）。

所以：

向量ah＝n向量△ah＝n〔√［（－a／n）²＋（h／n）²］〕cosθ＝n√［（a／n）²＋（h／n）²］＝√（a²＋h²）。