【经典回顾】动力学平均场: 2. 动力学自洽场理论

编者按：应读者的要求，知社重发动力学平均场三十年发展史的系列文章，敬请关注！

灵感就像黑暗中点亮的一盏灯塔，它给了迷茫的航者前行的勇气和方向。D. Vollhardt和W. Metzner关于无穷维极限的奇思妙想并非只是镜花水月般遥不可及的孤芳自赏，它很快就在强关联电子领域引起了巨大的反响。最先理解了无穷维度简洁美的是同样来自德国的Müller-Hartmann教授。这位一辈子都待在德国北威州科隆的教授，也许更能够与当时同在北威州的D. Vollhardt和W. Metzner两个人产生共鸣。或许是因为同样的阴雨连绵，或许这个时代的北威州注定是个英雄聚集的地方，他们的工作使得1989年变得很特殊，至少对于强关联量子多体理论而言，这是一个值得纪念的年份。

我介绍D. Vollhardt和W. Metzner1989年工作的方式，可能容易给陌生读者造成错觉，似乎无穷维极限的想法是一种天外飞仙般的灵感爆发。实际上，我们今天回头来再看两人当年的出发点，寻根朔源，就会发现他们发现无穷维极限的简化是一个自然的结果。两人当年的出发点并不是去创造一种全新的理论，他们只是想更好的理解一种已经存在的方法，并尝试稍微修正一下它，使其变得更好。这也是我们大多数人做科研时最简单的出发点，但是一些重要性的发现可能就隐藏在这一点点的突破上。

他们当年真正想要理解的方法是Gutzwiller approximation [1]. 这是一种半经典的平均场近似理论。它用一个关联常数替代了描述格点单占据态、双占据态及空态之间动态平衡的玻尔兹曼因子，用来重整化关联体系中的电子动能项。该方法简单，长久以来是唯一能够在有限相互作用强度范围内定性描述莫特(Mott)金属-绝缘体转变[2]的理论。但是人们对于Gutzwiller approximation为什么有效一直没有深刻的理解，无法从传统场论或者多体理论中系统的推导出该方法，因此不能进一步改进它。这种情况直到1986年Gabriel Kotliar（他对动力学平均场的发展做出了巨大的贡献，后面我们会经常看到这位大神的工作）和A.E.Ruckenstein两个人提出了隶玻色子平均场理论（slave-bosonmean-field theory）[3]才得以改变。两人将Hubbard模型中的费米子玻色化成隶玻色子，并利用泛函积分的鞍点近似(saddle-point approximation)证实Gutzwiller approximation刚好对应了他们提出的隶玻色子理论的平均场解。

Nevill Francis Mott (1905-1996)英国物理学家，因为对磁性与无序系统中电子结构的研究，与Philip W. Anderson, J.H. Van Vleck分享了1977年的诺贝尔物理学奖。

自然界中的固体材料体现出不同的导电和导热性，大致可以分为金属、绝缘体和半导体。长久以来，这些不同状态之间的差异都可以由电子的填充状态不同来描述。在绝缘体和半导体中，任意一条能带所有微观状态要么被全部占据，要么完全没有占据。而在金属中，存在至少一条能带的微观状态被部分占据。N.F. Mott [2]提出在电子部分占据的体系中也存在一类绝缘体，今天我们称为由电子-电子关联导致的Mott态。简单而言，Mott态是电子刚好半占据的时候，因为彼此间强烈的排斥力，使得每个电子被迫局域在自己的位置形成的绝缘态。

D. Vollhardt和W. Metzner从1987年起也一直在研究如何系统的理解Gutzwiller approximation, 他们更多的是从图形微扰论的角度出发。他们发现在利用Gutzwiller变分波函数计算物理量的平均值时，完全可以用图形化的多体微扰论方法计算，并且该方法可以推广到任意维度[4]。在一维情况下，他们解析得到所有的图形结果；而到了高维度的时候，解析结果就不存在了。他们只好数值计算了多个不同维度下的不同图形的结果。他们发现随着维度的增加，似乎每一张图上的动量守恒都可以被更好的忽略掉。在无穷维度下，动量守恒就完全不存在了。所有没有动量的图形求和后就严格给出了Gutzwiller approximation的结果。这样，才有了1989年两人关于无穷维度的讨论。所以，无穷维极限的想法不是凭空出现的。

实际上，历史上很少有纯粹的横空出世的想法，大多数被世人记住的理论其实都是在前人基础上的修修补补。我们常常听到德高望重的前辈说，做科学研究最重要的不是聪明，而是耐得住寂寞的勤奋，可能道理就在这里。

D. Vollhardt和W. Metzner当时的讨论是基于一种假想的具有高斯型态密度的晶格体系。Müller-Hartmann进一步考虑了多种不同类型且更实际的晶格，发现在无穷维下所有体系的关联都变得局域，动量变得不重要；他进而发现，关联只有在局域尺度上才具有动力学属性，任何非局域的关联效应都被静态平均场描述 [5]。可以忽略动量这件事情看似简单，但是对于实际计算却有着非凡的意义。熟悉图形微扰论的朋友们都知道，在计算每一阶图形的时候，中间动量都需要被求和掉。高阶图形中包含的动量求和是非常多的，计算很复杂。在任意晶格体系中，Müller-Hartmann指出动量求和都可以被忽略，同时体系的动力学信息又被完整保存。因此，这可能大大简化量子多体系统的理论研究。

Václav Janiš

Charles University

利用无穷维度下的简化构建出多体自洽理论的是捷克的Václav Janiš [6]，法国的Antoine Georges和美国的Gabriel Kotliar [7]。1983年在布拉格的Charles大学获得博士学位后，Václav Janiš通过申请德国的洪堡奖游历到了德国北威州的多特蒙德（喜欢德甲的朋友们一定对这个城市有所了解）。当时的他还不知道几年后北威州将成为一个强关联电子理论重要的发展中心，他当时的研究主要集中在相干势近似(coherent potential approximation) [8] 的泛函积分表示上。这是一种用来研究无序，掺杂系统的有效方法。实际上，那个时代研究无序和安德森局域化（Anderson localization）[9] 是一种流行。Václav Janiš在来到多特蒙德之前，这里有两个年轻人U. Brandt和C. Mielsch，他们在研究另外一种当时非常时髦的模型，Falicov-Kimball model [10]。这是一个简化版的Hubbard模型，它不包含自旋信息，可以理解为电子是完全极化的。

Falicov-Kimball model (FKM)最早是作为研究 SmB6的Kondo物理于1969年引入。该模型描述了一个安全极化的迅游电子与一个完全局域的f电子之间的库仑耦合 。虽然我们今天已经理解了FKM并不能正确描述Kondo效应，但由于该模型比Hubbard模型更简单，同时也包含了电子关联效应，并能够在无穷维极限下被严格求解，因此是凝聚态物理中非常重要的一个模型。

相对于Hubbard模型中的自旋相反电子间的库仑排斥，Falicov-Kimball模型的库仑力存在于两种不同的电子间，一种是迅游电子，一种是完全局域的电子。U. Brandt和C. Mielsch几乎是在1989年D. Vollhardt，W. Metzner和Müller-Hartmann发表论文的同时，就证明了Falicov-Kimball模型在无穷维度下是严格可解的[11]。看过我们前几章节的朋友们知道，在强关联理论中，严格可解模型是非常宝贵的稀缺资源。因此，两人的工作迅速的让Falicov-Kimball模型与无穷维极限联系到了一起，之后很长的一段时间，有大批的理论工作者投入到到了这个模型的研究上。

Václav Janiš来到多特蒙德后了解到了Falicov-Kimball模型，利用自己熟悉的泛函积分方法，重新研究了这个模型。泛函积分的一个优势在于可以将部分自由度积分掉，从而得到剩余自由度的一个有效理论。Falicov-Kimball模型在没有迅游电子和局域电子的单电子耦合时，刚好适合这样的处理。Václav Janiš将局域电子自由度完全积分掉后，得到了一个只有迅游电子的有效理论 [6]。局域电子被积分后，并不是完全消失了，泛函积分仍然保留了它在迅游电子上的效应。这体现在迅游电子获得了一个额外的势场，并且该势场具有动力学演化性质。因此，Václav Janiš通过泛函积分将Falicov-Kimball模型转化成了一个在动力学外势场中运动的单电子问题。对于单电子问题，我们知道总是有办法求解的。

Václav Janiš的工作巩固了泛函路径积分在处理低能有效理论上的优势。虽然现在很多从事动力学平均场理论的人并一定了解路径积分，但是也并不妨碍后续展开计算，该方法对于低能理论的建立有很大的帮助，是一种标准的方法。同样的方法，也可以用来研究Hubbard等其他模型，但是Hubbard模型中的电子关联比Falicov-Kimball要复杂很多，无法通过积分转化成单电子问题，低能有效理论对应着在动态外场中运动的关联多电子，因此似乎问题仍然不可解。因此当时的人们觉得这对于Hubbard模型而言，并没有带来任何实质性的进展。

然而，远在美国的法国人Antoine Georges和阿根廷人Gabriel Kotliar并不这样认为。当时的Antonie Georges 2年前刚从法国的École Normale Supérieure博士毕业（1988），来到美国的普林斯顿(Princeton)大学做博后。Gabriel Kotliar年长些，他在1983于普林斯顿拿到了博士学位，导师是大名鼎鼎的Philip Anderson。Antoine Georges来到普林斯顿的时候，Gabriel Kotliar已经拿到了美国罗格斯(Rutgers)大学的副教授职位。两人在无穷维极限问题上共合作了三篇文章，其中的两篇也包括了华人优秀物理学家司齐淼(Qimiao Si)，他当时在罗格斯大学跟随Gabriel Kotliar从事博士后工作。现在是美国莱斯(Rice)大学的教授，他更多的是因为对量子临界现象的研究被大家所熟知。相对于Václav Janiš，Antoine Georges和Gabriel Kotliar的处理方式是将在动态外场中运动的关联多电子问题等效为安德森杂质模型，将动态外场转化为杂质与其他媒介的耦合。他们指出Hubbard模型在无穷维极限下，其作用量具有如下形式：

这里的是局域关联问题的裸格林函数。A. Georges和G. Kotliar在文章中明确指出，它和无相互作用的格林函数不同，它包含了动态外场的影响。如果上述作用量可解，那么该问题对应的相互作用格林函数就可以用这个裸格林函数及D. Vollhardt和W. Metzner指出的局域自能表达为：

-- Dyson方程

这已经是我们今天所熟知的动力学平均场理论的样子。上述的作用量是动力学依赖的，大多数理论物理学家不喜欢直接求解作用量，他们反而更熟悉哈密顿量的形式。因此，Antoine Georges和Gabriel Kotliar进一步指出，上述的作用量可以等效的用媒介包裹的杂质的哈密顿量来代替。这其实是反向的使用了Václav Janiš泛函积分方法，把杂质电子感受到的动力学外场，用其他的单电子自由度描述。这个杂质哈密度量，就是大家早已经知道的安德森杂质模型。只是这里在安德森杂质模型的基础上，还要进一步加上一个自洽的过程。这是因为局域关联问题的裸格林函数是通过等效为局域格林函数，并利用Dyson方程来计算得到的:

因此和中互相包含了对方，需要通过自洽迭代的方式同时确定(下个系列中我会展开讲一下)。近期来自法国的女科学家Silke Biermann指出，该自洽方程仅对局域自能成立，任何对其引入动量依赖的方法，都可能引入违反“谱正定“的因果律(causality)问题 [12]。同时Silke Biermann给出了更加普适的自洽方程，等到后面聊到动力学平均场的非局域展开时，我们再细说，这里先打个伏笔。

对于求解杂质安德森模型，人们感觉要熟悉多了，毕竟对这个模型的研究已经有了很多成功的经验。Antoine Georges和Gabriel Kotliar在他们1991年的原文中用了二阶图形微扰论，得到了上述自洽方程的近似解。1992年，来自美国西西那提的Mark Jarrell利用严格的量子蒙特卡洛方法第一次将该无穷维极限下的Hubbard模型数值严格求解，成功得到了在有限温度，有限相互作用强度下出现的Mott金属绝缘体转变 [13]。同时, Mark Jarrell进一步指出，不仅仅是单电子物理量（比如格林函数，自能），高阶的传播子（比如两体格林函数、各种极化率）都只有局域图形的贡献。

由此，无穷维度的映射，即动力学平均场方法，成为求解Hubbard多体关联模型的一种重要的手段。虽然我们今天看到的动力学平均场推导多数是将Václav Janiš和Antoine Georges，Gabriel Kotliar思想结合在一起，即利用泛函积分的办法将无穷维的Hubbard模型等效为安德森杂质模型，但核心思想更多的应该是映射成安德森杂质模型这一部分。因此，今天我们更多的将动力学平均场的建立归功于D. Vollhardt，W. Metzner和Antoine Georges，Gabriel Kotliar。四人的贡献也在2006年得到欧洲物理学会的认可，获得了当年的欧洲物理奖。动力学平均场的建立是在短时间(1989-1991)内完成的，该理论在材料计算和计算方法论发展上产生了巨大的推动作用，促进了多领域的进步。

Walter Metzner, Dieter Vollhardt, Antoine Georges和Gabriel Kotliar在2006年共同获得了欧洲物理学会授予的欧洲物理奖(Europhysics Prize)，以表彰他们建立和发展了动力学平均场理论。该奖项是欧洲物理最重要的奖项之一，获奖者中多人之后又获得了诺贝尔奖。

（未完待续）

参考文献

[1]. M.C. Gutzwiller, Phys. Rev. Lett. 10, 159 (1963)

[2]. N.F. Mott, Rev. Mod. Phys. 40, 677 (1968)

[3]. G. Kotliar and A.E. Ruckenstein, Phys. Rev. Lett. 57, 1362 (1986)

[4]. W. Metzner and D. Vollhardt, Phys. Rev. Lett. 59, 121 (1987)

[5]. E. Muller-Hartmann, Z. Phys. B 74, 507 (1989), E. Muller-Hartmann, Z. Phys. B 76, 211 (1989)

[6]. V. Janiš, Z. Phys. B 83, 227 (1991)

[7]. A. Georges and G. Kotliar, Phys. Rev. B 45, 6479 (1992)

[8]. R.J. Elliott, J.A. Krumhansl, and P.L. Leath, Rev. Mod. Phys. 46, 465 (1974)

[9]. P. W. Anderson, Phys. Rev. 109, 1492 (1958)

[10]. L. M. Falicov and J. C. Kimball, Phys. Rev. Lett. 22, 997 (1969)

[11]. U.Brandt, C.Mielsch, Z. Phys. B 75, 365 (1989)

[12]. Steffen Backes, Jae-Hoon Sim and Silke, Biermann, arXiv: 2011.05311 (2020)

[13]. M. Jarrell, Phys. Rev. Lett. 69, 168 (1992)