罗巴切夫斯基：俄国数学天才，称平行线可以相交，死后12年被证实

所谓平行线，顾名思义就是永不相交的两条直线，这既是人们的经验认识，也是欧几里得几何学的重要基础。

但在19世纪的时候，一位名叫罗巴切夫斯基的俄国数学家公然宣称：即使是平行线，最终也可以相交。

当时，不论是一般民众还是资深数学家，都不认可这个违背“常识”的论断，罗巴切夫斯基也在质疑和嘲讽中郁郁而终。

但在他去世12年后，他的这一论断却最终被数学界所证实，从而发展成一门崭新的学科，不但极大地促进了数学的发展，也对哲学、物理学等学科的进步产生了深远的影响。

“平行线可以相交”这个“荒谬”的问题是如何提出来的？罗巴切夫斯基是如何证明的？这个证明又对后世产生了怎样的影响？这还要从欧几里得的《几何原本》说起。

欧几里得“创”几何，无奈“家丑”无人解

公元前三世纪，古希腊著名数学家欧几里得在总结前人几何知识和研究成果的基础上，写下了具有跨时代意义的宏伟著作《几何原本》。

在书中，欧几里得创造性地提出了五大公理和五大公设。

五条公理分别是等于同量的量彼此相等；等量加等量，其和仍相等；等量减等量，其差仍相等；彼此重合的物体全等；整体大于部分。

五条公设中的前四条分别是：由任意一点到另外任意一点可以画直线；一条有限直线可以继续延长；以任意点为中心及任意距离可以画圆；凡直角都彼此相等。

这五条公理和四公设，或源于观察，或源于经验，总之，欧几里得认为它们是绝对成立的，也不需要再加以证明的，是几何学所有定理的起点和基础。

对于这“五条公理四条公设”，即使是普通人，也能明白它们所说的就是一浅二白的大实话，后世数学家对此就更没有异议了。

但在这四条公设之后，欧几里得又提出了第五条公设，即：同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二直角，则这二直线经无限延长后在这一侧相交。

这条公设是关于平行线的，所以人们也称之为“平行公设”。

但这条公设与“五公理四公设”在气质上有着明显的不同，不但在表述方式上太过冗长和复杂，缺乏应有的简洁美，所表达的意思也不像“五公理四公设”那样不证自明，因此，很多数学家都将其称为欧几里得几何学的“家丑”。

所以从《几何原本》诞生的那一天起，数学家们就一直想把“平行公设”简单化，以解决“家丑”问题。

在近两千年里，数学家们提出了上百个替代公设，直到18世纪末期，英国数学家普莱费尔才提出，第五公设可以等价表述为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

相比于第五公设，普莱菲尔公设确实要简洁不少，目前的世界各国的几何教科书中一般也会用这个公设来替代“平行公设”，但这个公设还是不能像其他公设一样做到“不证自明”。

于是，追求完美的数学家又想到了另一条路径。他们提出，如果“平行公设”能从其他“五公理四公设”中推导出来，那“平行公设”也就失去做公设的资格，他们就可以直接“五大公设”变成“四大公设”了，从此也就万事大吉了。

但这条路更不好走，历代数学家研究了上千年，也没有给出完美的证明。接力棒就这样一直传到了罗巴切夫斯基这里。

天才出世解难题，“反证”“公设”得怪论

罗巴切夫斯基出生于1792年，他的父亲本是波兰人，叶卡捷琳娜大帝“一分波兰”后，被迫成了一名俄国人。

后来，他移居到下诺夫哥罗德，也就是后来广为人所知的高尔基市，成了一名土地测量员。

正因为父亲有一技之长，所以罗巴切夫斯基小时候的日子过得还算丰润，但到了罗巴切夫斯基7岁那年，父亲却突然因病去世，家里瞬间失去了支柱，家境也因此每况愈下。

但他的母亲还是克服了重重困难，坚持让罗巴切夫斯基读书。罗巴切夫斯基也不负所望，最终在1807年考上俄国名校喀山大学的公费生，师从著名数学家巴斯特。

巴斯特虽然在现在已经不再著名，但在当时却是“数学之王”高斯的老师，是喀山大学重金请来的“镇校之宝”。

在巴斯特的指导下，罗巴切夫斯基仅用了四年时间，就获得了博士学位，年仅24岁就当上了喀山大学的教授。

在“学而优”的同时，罗巴切夫斯基也开始接手行政管理工作，先是担任了新校舍工程委员会委员，后来因成绩卓著，在35岁时被校委会推选为喀山大学校长。

在这个职位上，他一干就是二十年，可见学校师生对他行政管理能力的认可，但这并不代表他们也认可他的学术成就。

其实在刚开始的时候，广大师生也一致认为他们的校长是数学天才，但自从罗巴切夫斯基接触“平行公设”证明之后，情况就发生了变化。

作为数学家，罗巴切夫斯基一直认为：无论哪一门科学，做为起点的初始概念都应当是明确的，并且表述也应当是简洁的。

而“平行公设”及其替代公设都与此标准相差甚远，所以，他一直想要解决欧几里得几何学这一“家丑”问题，因此他最初的目的是维护而不是否定欧几里得几何学。

起初，他也是沿着第二条路径，试图用“五公理四公设”来推导出平行公设，但他尝试了很多方法，最终都无法摆脱循环论证的错误。

他反反复复验证了很多遍，最终确定方法是没有问题的，那就只能说明，前提本身也许就是不可证的。

为了验证平行公设的“可证”性，罗巴切夫斯基引入了“反证”的方法。

他先对第五公设的等价命题普莱菲尔公设进行了否定，然后他再以这个命题为出发点，运用欧几里得“五公理四公设”进行逻辑推演。

如果推演过程中出现矛盾，那就说明否定命题是不可证的，那“第五公设”自然就是可证的；如果没有出现矛盾，就能证明“平行公设”是不可证的。

最终的推演结果显然就像罗巴切夫斯基怀疑的那样，没有出现任何矛盾，这就证明了“平行公设”不可证，也就意味着前人试图用“五公理四公设”推导“平行公设”的路径根本就行不通。

直面“怪论”创新学，无奈社会不承认

本来工作到此就可以结束了，但罗巴切夫斯基在证明中发现，他的推演中产生很多“古怪”结论，例如同一直线的垂线和斜线不一定相交，垂直于同一直线的两条平行线可以相交、不存在相似的多边形、三角形的内角和可以趋于0等等。

这些“古怪”结论虽然看起来匪夷所思，在现实生活中也找不到实例，但它们都是由欧几里得“五公理四公设”推导而来，在逻辑上也是完美自治的，在结果上也不存在任何矛盾。

面对这样一个“怪胎”，罗巴切夫斯基并没有武断地舍弃，而是大胆地断言：在人们的认知之外，可能存在一种“新的几何学”。

但由于罗巴切夫斯基本人也无法从现实世界中找到原型和实例，所以他慎重地将他发现的几何学称之为“想象几何”。

之后，他兴冲冲地将这一发现写成了论文，并在喀山大学的学术会议上进行了宣读，但却没有得到学校同仁的任何响应。

他并没有因此灰心丧气，而是继续在他开创的“想像几何”领域独自深耕。

1829年，他又将他的研究成果撰写成一篇题为《几何学原理》的论文。

当时他已贵为喀山大学校长，所以就“利用”自己的影响力，先将论文发表在了自家的《喀山大学通报》上。

学校师生不好驳他的“面子”，就对论文采取了冷处理的态度，既不发表议论也不做任何表态，使这篇论文很快就淹没在了其他论文之中。

但他仍不死心，1832年，他又将这篇论文提交给彼得堡科学院进行评审。

彼得堡科学院由彼得大帝所建，是当时欧洲当之无愧的四大科学中心之一，特别是在数学领域，更是赫赫有名的“彼得堡数学学派”的策源地，代表了当时世界数学的最高水平。

但在大师云集的彼得堡科学院，也是没有一个人愿意去深究罗巴切夫斯基的论文，他们武断地认为：罗巴切夫斯基的著作谬误连篇，根本就不值得科学院的注意。

这时罗巴切夫斯基才发现，自己的研究成果在俄国国内根本就无法引起关注，于是他就将目光投向了整个欧洲。

为了自己的作品能更好地在欧洲特别是在当时数学重镇法德两国出版传播，他甚至自学了法文和德文，并亲自承担了自己著作的翻译工作。

果然功夫不负有心人，当时的“科学巨擎”德国数学家高斯终于读到了罗巴切夫斯基的论文。但这位“数学之王”对罗巴切夫斯基的心态却非常纠结。

他首先是欣喜，因为早在罗巴切夫斯基出生那年，他就已经意识到“平行公设”可能不成立，但他向身边的朋友透露了这个想法后，并没有得到他们的理解和支持，如今他终于找到了一个与他“所见略同”的人，就像是有了知己，自然是欣喜若狂了。

在欣喜的同时，他更多的是担忧。因为欧几里得几何是数学界的“圣经”，千百年来还没有一个人敢于去否定它的正统地位，荣耀加身的他既不想也没必要去挑这个头。

更重要的是，罗巴切夫斯基的学说在现实中还没有找到原型和实例，公众接受起来会非常困难。

而几何学又是一门公众参与度很高的学科，他担心自己如果贸然发表意见，会引来不明就里又“自以为是”的“愚民”的攻击与谩骂。

所以他虽然在私下里对罗巴切夫斯基表示了赞赏，但在公开场合却从未对罗巴切夫斯基进行过公开评论。

高斯果然是有先见之明。罗巴切夫斯基的理论虽然在学术界没有打开市场，但在民间却成了“众矢之的”，很多 “民间科学家”都在嘲讽罗巴切夫斯基。

罗巴切夫斯的学说其实是重新构建了一个公理体系，但他们无知地却将其简化成了“平行线可以相交”一条内容。

他们在俄国很有影响力的杂志《祖国之子》上发表文章说：既然罗巴切夫斯基既然都把“平行线想象成相交”了，那为什么不“把黑的也想象成白的，把圆的也想象成方的？”

还建议罗巴切夫斯基把他的《几何学原理》改名为“几何学漫画”。

由于东正教等宗教都认为“神学则得自数学”，他们的理论体系也效仿欧几里得而建立的，所以很多宗教人士也认为，罗巴切夫斯基反对欧几里得，归根到底就是反对上帝，因此罗巴切夫斯基后期也受到了以东正教为国教的俄国政府的打压。

按照当时俄国大学委员会的规定，教授任职的最高期限是30年。

1846年，任职教授已满30年的罗巴切夫斯基循例向人民教育部提出了辞职，但人民教育部不但免去了他的教授职务，还借机一并免去了他在喀山大学的所有职务。

罗巴切夫斯基虽然感到愤愤不平，但也别无他法，只能被迫离开终生热爱的大学教育工作。

这期间，他的大儿子又因肺结核而英年早逝。接连不断的打击下，他的身体变得越来越差，眼睛也逐渐失明，但他还是没有放弃“想象几何学”的研究工作，最后在学生的帮助下，完成了他的最后一部著作《论几何学基础》。

1856年2月12日，罗巴切夫斯基在苦闷和抑郁中走完了他生命的最后一段路程。

学说最终被证实，后人尊称“哥白尼”

罗巴切夫斯基去世后不久，高斯也驾鹤西去，他的通信录也被陆续公开。

在这些信件中，既有对罗巴切夫斯基的推崇，也有他本人对“平行公设”的见解。

高斯还是低估自己的影响力，那个时代的数学家并不敢轻易去质疑高斯，他们看到高斯也支持罗巴切夫斯基的学说后，就对罗巴切夫斯基的学说进行了重新的审视。

1868年，意大利数学家贝特拉米终于证明了罗巴切夫斯基的学说可以在欧几里得空间的曲面上得以实现。

罗巴切夫斯基的学说其实并不难理解，他们之前之所以不肯接受，完全是教条主义作祟。

当思维摆脱了桎梏，当欧几里得几何学也不再被看作不可触碰的绝对真理，一门崭新的几何学——非欧几何学也就蓬勃发展起来。

正是罗巴切夫斯基去世的第二年，德国伟大数学家黎曼开创了黎曼几何。

在黎曼几何中，罗巴切夫斯基几何和欧几里得几何只是黎曼几何的特殊形式，使罗巴切夫斯基几何和欧几里得几何统一了起来。

到十九世纪末，另一名德国数学家闵科夫斯基又把空间和时间以及时空和物质运动联系起来，创立了四维空时几何学。

1915年，爱因斯坦又以闵科夫斯基学说为数学工具，创立了广义相对论，物理学从此进入了一个崭新的时代。

随着数学和物理的发展，我们已经知道，我们所处的宇宙本质，就是一个扭曲的黎曼几何，在这个空间中，竟没有一条线是直的，“平行线不相交”反而成了特例。

非欧几何诞生的影响是巨大的，其重要性可与哥白尼的日心说、牛顿的引力定律、达尔文的进化论相提并论，后来也对宗教、哲学、物理学产生了革命性的影响。

放在非欧几何学的大历史中，罗巴切夫斯基的学说已显得非常渺小，但数学家们还是尊称他为“几何学界的哥白尼”，正得益于他对非欧几何学的开创之功和颠覆之力。

1983年，喀山大学也在校园里树起了罗巴切夫期基的雕像，他的成就终于被肯定。

在科学探索的征途上，经得住一时的挫折和打击并不难，难的是勇于长期甚至终生在逆境中奋斗；探索发现未知领域也不难，难的是在现有领域挑战所谓的“绝对真理”。

罗巴切夫斯基的精神不只对科学探索有启示意义，我们在日常生活中，也应向罗巴切夫斯基学习，既做一名在逆境中永不低头的探索者，又要做一名勇于探索未知，敢于挑战权威的创新者。