压轴题研题活动第72场2022年杭州第23题

精彩点评一

今天认真学习了杜老师的研题，收获颇丰。杜老师用多种方法，从多个角度耐心细致的分析2022年杭州中考第23题，从题目条件的分析，到解法探究，解法来源的挖掘，再到对中点问题的总结和思考，对赵爽弦图的思考，都体现了杜老师的用心程度，为杜老师的本次精彩的研题点赞！

在本题第二小题第一问中，杜老师带领我们从两个方向思考：寻找相似比，证中点。在证明中点的时候就产生了很多种寻找全等三角形的方法。然后杜老师建立了平面直角坐标系，利用解析几何的方法解决中点问题。

在最后一小问中，是三角形面积比问题，杜老师除了展示多种方法外还在教学反思中有详细的归纳说明：三种方法三个步骤。最后实质上还是转化为线段的比值，将三角形问题转化为线段问题。

在教学反思环节中，杜老师还对本题出现的一线三垂直模型进行分析。首先是展示赵爽弦图，再从弦图中发现问题，从位置、数量、模型上寻找关系。根据弦图衍生出一些基本模型，再结合教材中的习题，总结解决方法。让学生能了解历史，拥有民族自豪感，对数学学习产生浓厚的兴趣。这里对学生的素养培养起到非常好的作用！

整个研题的过程中，杜老师注重对学生能力的培养，及时地归纳和总结方法，对于每一个方法的来源都分析得非常清楚，这样也能培养学生数学学习能做到有理有据的严谨思考习惯。

最后杜老师对自己提出的四点要求，也是我今后要继续努力学习的地方。非常感谢杜老师的分享，也感谢张钦博士搭建的平台，让我借助这个平台学习更多的教育教学知识，让我能不断提高，不断做更好的自己。

精彩点评二

今天认真学习了杜晓莉老师 2022年浙江省杭州市中考第23题的研题，让我受益匪浅。

本题是以正方形知识为载体的几何探究题，综合考查正方形的性质、勾股定理、相似三角形及锐角三角函数。其综合性强，考查了学生的推理能力、数形结合、运算能力、几何直观等数学思想和核心素养。

一、讲解思路清晰，方法多样。

在本题的讲解中，杜老师针对每一个问题，讲解的思路清晰明了，配合思维导图，形象直观。第一问在解决面积问题时，采用勾股定理，弦图来进行研究，让求解面积问题思路多样化；在第二问求解线段倍分关系时，采用全等，中点，相似，平行线分线段成比例，建系等方法，多角度进行研究；在第三问的面积问题中，将三角函数问题转化为相似问题，面积割补问题进行剖析，将复杂的问题剥茧抽丝，最终迎刃而解。

二、注重知识前后衔接，讲究追根溯源。

就如杜老师在教学反思中的总结，弦图在正方形中的运用可谓是花样百出，其图形本身是由直角三角形和正方形两类基本图形构成，在位置上有平行的线段、垂直的线段，在数量上有相等或互余的角；相等的线段、勾股定理，在形上有四组全等的直角三角形，可以提炼出一线三垂直模型（K型图）。

而这些知识的得出，分散在不同的学段，在一个综合型大题中，怎么将这些知识紧密结合，考查我们对知识的先后衔接，更是考查其知识的追根溯源。

杜老师围绕这一题，对中点问题，弦图问题，面积比问题等等，进行了系统化的分析，给我们呈现知识形成的全过程，更是提供了多样化的解题途径。

三、站在学生的角度会怎样想？

在本次的研题中，杜老师将重点放在了怎样解题，有哪些方式解题等问题的思考上，那么，站在学生的角度，遇到这样的问题，他们会怎样想呢？真正让他们产生困难的点是什么呢？我觉得，可以在研究中适当进行分析，这样，更有利于大家对课堂教学的有效把握。

最后再次感谢张博士提供了这样一个研题平台，感谢杜老师的精心设计，精彩的讲解！

精彩点评三

认真学习了杜老师的研题，收获颇丰。杜老师善于联系教材，找到了活水的源头。在解题教学中，杜老师能充分地分析和挖掘出题目或图形中蕴含的基本结构，基本模型，如一线三等角，8字形等。更为可贵的是她采用了联系的观念和思想去解决问题，有助于提高学生的发散性思维品质，如由线段的2倍，想到了相似比和证中点两个方向。又由中点展开若干构图联想。无独有偶，在求面积比时也提出3种不同的思路，其中还包含了重要的数学思想一转化思想。在反思中，更值得我们学习，有知识的推导，有方法的归纳，有追根溯源的探究。最后的个人归划更是让我惊叹，是杜老师对她自己的要求，也将激励我向优秀的同仁们学习，好好学习，坚持学习，争取与时俱进。

精彩点评四

听了杜老师的在线讲题，有以下收获：

1.营造探究之乐

杜老师在本题的讲解过程中，抓住条件与结论有关的数量关系，探究解题之道，注重解题思路的探究.如第1问“求正方形EFGH的面积”，从结论出发探究解题方法，而第2（2）问，从条件出发探究结果的证明。加深思维引导，在教学过程中培养学生的探究意识，提升解题能力，这样才会有解法的自然生成，真正将知识与能力落到实处。

2.彰显方法之美

杜老师在解答本题时，立足课标、教材，关注基本图形，加强对基本图形结构的理解，加深对教学本质的理解，重点讲解通性通法，同时也关注一题多解。第1问从常规的勾股定理入手，方法常规，解题自然，揭示本问题的本质。第2（1)问的讲解中，有几何常法，如“欲证EK=2EH，则证？？”，首先介绍的是学生最容易想到的，这也体现“教”为“学”想，同时也引导学生用解析法做（建立直角坐标系）。 哈尔莫斯说“数学的真正组成部分应该是问题和解，解题才是数学的心脏”帮助学生明晰知识之间的联系，提炼解题基本方法。杜老师正是这样做的。

3.融入文化之味

杜老师在最后着重介绍“赵爽弦图”相关知识，“弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久远，被誉为‘中国数学界的图腾’”.在追根朔源之时，不仅让学生知道此题的背景，同时有意识地渗透中华优秀传统文化，加深对知识的理解。

同时也有以下思考：

1.数学教师不能只是为了解题而解题，还必须思考如何将解题分析过程展示给学生或如何引导学生分析。另外，针对一些新题型，除了分析解决它，还应该解构它，通过问题解构一方面可以发展问题设计能力，同时也是对数学教师自身分析问题能力提高的强力“推助”。

2.水有源题有根，茫茫题海寻根悟法方是岸。教师在讲题时，应将一个题肢解，找出“母题”，也就是教材中出现或已学过的内容。解决数学问题的基本思路是把没有解决的问题转化为已经解决的问题，把复杂的问题转化为简单的问题；而数学命题则刚好相反，往往是从已知问题出发，通过增加思维量，不断变式，得到新问题。如讲解第2（1）时，涉及证线段2倍关系时，要想到教学中常用的“截长补短”法，在此也可以“取AE的中点P，连接PH”

个人感言

2022年浙江省杭州市中考数学第23题。初看这道几何题，图形简洁，表述明晰。这是一道以正方形知识为载体的几何探究题，取材于数学经典，源于课本，综合考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形以及锐角三角函数，图形脱胎自大家都非常熟悉的勾股弦图。对于第一问求正方形EFGH的面积，线段长度的关系给的简洁明了，从要解决的问题出发，用勾股定理求解。对于第二问求证EK=2EH，用相似证出这个结论相对比较顺利。也有学生的第一想法是证中点，证EH=HK，由学生角度出发，对这里证明中点，构造全等进行了思考。第三问求面积比，如果是在相似图形间，那么面积比等于相似比的平方，然而这一问中的S1和S2分别是三角形和四边形，此路行不通，但仔细观察这两个图形，思考：四边形AEHI是△AEK的一部分 ，那么∆FGJ与△AEK有何关系？通过割补又发现了一线三垂直的相似三角形，由弦图衍生出来的基本几何模型贯穿整道题。

研题感悟1：关于本道题第二问证明中点问题的思考，一是采用相似比，对线段的转化，如思路1中，将EH转化到EF，从而证明相似三角形的相似比为2得出结论。第2种思路是构造全等三角形，常作平行、作垂直。第③种思路是平行线分线段成比例，常作平行线。这里思路2和思路3这两种方法本质上都是做平行线构造全等，只不过一个是过点E作平行线，一个是过点H作平行线，始终是抓住EH=EF这一组边来构造全等，本质是一样的。思路4中，建立平面直角坐标系进行代数运算。建系法什么时候用?一般用于图中直角较多，如:矩形、正方形，或者一些有对称性的，如:等边三角形、菱形、圆。通常需要考虑以下两点:第一，让尽可能多的点落在坐标轴上，这些点的坐标含有数字0，可以起到简化运算的功效；第二，考虑图形的对称性，同样，也能起到简化运算的作用。建系法与高中知识衔接紧密，感谢黄毅老师在这里给予的指导建议，解释中点坐标公式的几何由来，由数轴到平面直角坐标系。初中阶段,学习了平面直角坐标后,引入了点的坐标,把代数几何有机地结合在了一起,运用坐标描述图形的位置和运动。像中点坐标公式的几何由来就是非常好的案例,它来源于教材,又高于教材,是初高衔接的一块内容，中点坐标公式对于在平面直角坐标系中求解点的坐标与线段长度问题有重要应用。在教学中带着学生由已知的知识推导，让学生知其然也知其所以然。

研题感悟2：通过本次研题，结合教材，我对弦图进行了深入的学习和思考。弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想是课堂教学中数学思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想。弦图是由直角三形和正方形两类基本图形构成，位置上有平行的线段、垂直的线段。数量上有相等或互余的角；相等的线段、勾股定理。形上有四组全等的直角三角形，倘若再一进步模型化，可以提炼出一线三垂直模型（K型图）。

研题感悟3：在以后的教学中，在讲解正确的解法前站在学生的立场上去考虑，再现解题的心路历程。与学生共探：第一眼看到题目的感受是什么？第一种想到的思路是什么？朝着怎样的思路去尝试？在尝试的过程中碰到了怎样的困难？遇到坎坷发现此路不通又是怎样选择换另一条路去走，怎样一步一步才走向成功的？

本次的研题活动让我收获满满，在不断的打磨中不断反思，还有许多不足之处，给我指明了未来教学和教研努力的方向。研题的感想很多，三言两语难以表达。在研题过程中，得到了宜昌市夷陵区实验初中数学组团队的大力支持，尤其是黄要纲老师、徐轶群老师、钱天群老师、王超老师、刘海昌老师、王正江老师的指导和建议；感谢实验初中朱丹花老师对于本题的思考；感谢高先敏老师给予的鼓励和耐心指导；感谢研题团队的黄毅老师、唐斌老师、袁晓芹老师提供的宝贵意见！让我对研题与教学有了更深刻的认识，让我受益匪浅。感谢本次研题点评的黄新老师、陈仁蓉老师、姜韵老师、窦正安老师，让我看到我这次研题的亮点和不足之处。感谢张钦博士搭建的平台，让我在这个过程中对教学和教研都收获许多。在研题的过程中认识到自己许多不足，学无止境，思无止境，研无止境，我会带着本次研题的所思所想所悟在未来教学中不断提升自己，努力成长！

杜晓莉老师简介

杜晓莉，夷陵区实验初中数学教师，中共党员。参加工作两年以来，获夷陵区初中数学优质课竞赛一等奖，获夷陵区教育局表彰“区优秀班主任”。由衷热爱教育工作，热爱学生，热爱数学。愿在学习中不断进步，在反思中不断成长。