一线穿两图，交点孰高低——2022年宜昌市中考数学第24题

一线穿两图，交点孰高低

2022年宜昌市中考数学第24题

在函数综合题中，我们经常研究函数上的交点问题，例如求交点坐标，判断交点位置，研究交点个数等等，平面直角坐标系中，线与线的交点，通常解读为函数图象间的公共点，既满足函数甲，又满足函数乙，这极易想到用联立方程的求解方法。

然而涉及到多个图形间的交点，问题陡然就复杂许多，2022年宜昌市中考数学第24题，便取材于多图交点，研究它们的位置关系。整个题目上手容易，呈现明显的坡度，综合了初中阶段几乎所有的函数类型（那个反比例函数很简单），尤其是第3小题的两个子问题，若是对抛物线图象的性质理解不够，脑子里不能迅速形成图形，便举步维艰。

题目

已知抛物线y=ax²+bx-2与x轴交于A(-1,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C，直线l由直线BC平移得到，与y轴交于点E(0,n)，四边形MNPQ的四个顶点的坐标分别为M(m+1,m+3)，N(m+1,m)，P(m+5,m)，Q(m+5,m+3).

(1)填空：a=_________，b=___________；

(2)若点M在第二象限，直线l与经过点M的双曲线y=k/x有且只有一个交点，求n²的最大值；

(3)当直线l与四边形MNPQ、抛物线y=ax²+bx-2都有交点时，存在直线l，对于同一条直线l上的交点，直线l与四边形MNPQ的交点的纵坐标都不大于它与抛物线y=ax²+bx-2的交点的纵坐标.

①当m=-3时，直接写出n的取值范围；

②求m的取值范围

解析：

0 1

最直接的方法是代入点A，点B坐标到抛物线解析式中，求得a=1/2，b=-3/2；

最简洁的方法是利用交点式，设y=a(x+1)(x-4)，通过比对系数得到结果；

也可以利用韦达定理，令y=0，则两根为-1和4，得到结果；

0 2

准备工作如下：

点C坐标为(0,-2)，直线BC解析式为y=1/2x-2

先表示出平移后的直线l为y=1/2x+n，再将点M代入反比例函数解析式中，表示出k=(m+1)(m+3)，再联立直线l与双曲线得方程：1/2x²+nx-(m+1)(m+3)=0，由△=0，表示出n²=-2(m+1)(m+3)=-2(m+2)²+2，因此当m=-2时，n²最大值为2，此时点M恰好在第二象限；

0 3

我们在第1小题中已经求出参数a和b，则抛物线已经确定，而四边形MNPQ的四个顶点均用参数m表示，则它形状也确定，容易判断它是一个矩形，且长为4，宽为3，第一个要考虑的问题，是这个矩形如何随m改变而运动？

我们观察其中一个顶点M，发现它的纵坐标始终比横坐标多2，因此判断它在直线y=x+2上，即整个矩形MNPQ是沿直线y=x+2进行平移；

接下来我们来解读本小题的难点“直线l与四边形MNPQ、抛物线y=ax²+bx-2都有交点时，存在直线l，对于同一条直线l上的交点，直线l与四边形MNPQ的交点的纵坐标都不大于它与抛物线y=ax²+bx-2的交点的纵坐标.”

这段话我们需要分步骤理解，第一步是直线l与四边形MNPQ、抛物线都有交点，其中抛物线是固定的，我们优先研究直线l与抛物线的交点情况，显然三种情况，交点个数为0、1、2；考虑特殊位置即交点个数为1时，联立方程得1/2x²-3/2x-2=1/2x+n，由△=0，求得n=-4，结合图形，可知当n≥-4时，直线l与抛物线才有交点；

第二步我们研究四边形MNPQ与直线l的交点情况，这比较复杂，因为直线和四边形均随参数变化在运动中，所有运动的图形中，直线l的“倾斜程度”却是相同的，于是我们利用几何直观，找到两处临界点，如下图：

显然，直线l经过点P时，不妨将点P坐标代入直线y=1/2x+n，得到n=1/2m-5/2；直线l经过点M时，将点M坐标代入，得到n=1/2m+5/2，所以当1/2m-5/2≤n≤1/2m+5/2，直线l与四边形MNPQ有交点；

“都有交点”意味着直线l必须同时满足以上两个图形存在交点的条件。

第三步理解“纵坐标不大于”，说明直线l与四边形MNPQ的交点全部位于直线l与抛物线交点的下方；

第四步是理解“存在直线l”，由于直线l与四边形MNPQ、抛物线的交点众多，只要存在一条直线，使前者交点全部位于后者下方，即可视为满足条件；或者换个角度，在某种情况下，直线l与四边形MNPQ的交点始终在抛物线交点的上方，不满足，则其余情况满足。

①给出m=-3，根据前面的分析，可作图如下：

此时四边形MNPQ各顶点已知，发现点P恰好在抛物线上，且直线l经过点P时，与抛物线只有一个公共点，而这个特殊点恰好满足条件，将P(2,-3)代入y=1/2x+n，求得n=-4；

继续观察，当直线l经过点P之后，继续向上平移，直线l与四边形MNPQ的交点并不全部位于抛物线交点的下方，这种情况一直持续到当直线l经过点A，如下图：

当直线l经过点A时，由几何直观可知，它与四边形MNPQ的交点有两个，均没有超过直线l与抛物线的交点纵坐标(注意点A处重合)，将点A坐标代入y=1/2x+n，求得n=1/2；

直线l继续向上平移，显然符合条件，直到经过点M，这也是直线l与四边形MNPQ有交点的最后临界值，将点M坐标代入y=1/2x+n，求得n=1，于是我们得到了n的范围为1/2≤n≤1，且n=-4；

②通过前面的计算，我们知道当n=-4时，直线l与抛物线有唯一公共点，若此时四边形MNPQ位于直线l下方，不可能满足条件，唯一的可能是当M在直线y=1/2x-4上时，我们将点M坐标代入y=1/2x-4中，求得m=-13；

另一种方法则是利用点M的运动路径，前面已经研究出点M在直线y=x+2上，我们只要求出它和y=1/2x-4的交点，同样得到m=-13，如下图：

并且只要四边形MNPQ能被直线y=1/2x-4所截，则其上方的部分，始终满足条件“存在直线l，对于同一条直线l上的交点，直线l与四边形MNPQ的交点的纵坐标都不大于它与抛物线y=ax²+bx-2的交点的纵坐标”，如下图：

这种情况一直持续到点M抵达抛物线时戛然而止。

此时除了过点M的直线l之外，再无符合条件的直线了，如下图：

若四边形MNPQ继续向上平移，无论怎么作图，均找不到符合条件的直线l了，即“不存在直线l”满足条件，如下图：

所以我们将点M坐标代入抛物线解析式，得m+3=1/2(m+1)²-3/2(m+1)-2，解得m=(3±√57)/2，显然此时点M在第二象限，因此取m=(3-√57)/2，由此我们得到了m的取值范围，-13≤m≤(3-√57)/2；

解题反思

为什么在第3小题的第2个子问题中，m会存在一个范围？

我们继续前面解题过程中的思考，当四边形MNPQ沿直线y=x+2平移时，不妨将起点设定在顶点M在直线y=1/2x-4上，随着四边形的移动，它会被直线y=1/2x-4所截，同时它也逐渐靠近抛物线，如下图：

请注意当四边形MNPQ与抛物线内部有重叠部分时，在这部分是作不出符合条件的直线l的，但其余部分可以，所以“存在直线l”需要这样理解；

随着抛物线内部对矩形的“侵入”部分越来越大，可供作符合条件的直线l也越来越少，直到最后时刻，点M抵达抛物线，此时除了过点M还能作一条符合条件的直线l外，再无第二处可以作直线l了。

这道题作为函数压轴题，对学生的构图能力提出了较高要求，尤其是动态构图。个人认为，此题稍加修改，则是一道完美的新定义题型，例如将“当直线l与四边形MNPQ、抛物线y=ax²+bx-2都有交点时，存在直线l，对于同一条直线l上的交点，直线l与四边形MNPQ的交点的纵坐标都不大于它与抛物线y=ax²+bx-2的交点的纵坐标”这段描述中的直线l，称为“某某线”，重新建立一种新的概念，并利用这个概念来解决矩形和抛物线的相对位置问题。

我们在平时的教学过程中，如何培养学生的这种动态构图能力呢？首先是在函数教学过程中，重视函数图象的生成过程，其次是利用静态图解读动态问题，学生脑子里动一动，在黑板上停一停，再继续动、停……，最后特别关键的是给予学生足够的思考时间，并在这个时间内引导学生，教会学生思考。

解题之后的复盘，就是非常难得的思考，让学生从头到尾再经过一遍思维的形成过程，自己在思考的过程中遇到了什么障碍，这个障碍是如何通过老师讲解突破的，是否真的突破了等等，通过反思，梳理自己脑中已有的知识体系是否存在漏洞，并及时弥补。

从2022年高考数学的结果来看，数学学习，的确是到了要彻底摆脱刷题式的时候了，我们学习数学，最终并不是为了得到一大堆解题技巧，而是需要真正理解数学知识并且运用它们，从知道怎么做，到知道为什么这么做，在这个过程中，核心素养得到进一步发展。