四川
大家好！本文和大家分享一道1997年高考数学真题。这是一道非常经典的求三角函数最值的题目，而这类题型在如今的高考中也仍然经常考到。本文就和大家分享一下求三角函数值域的三种题型，高中生应该好好掌握。
题型一：y=asinx+bcosx+c
我们在进行三角函数求值计算时，最理想的情况就是将题干中的三角函数转化为“同角同名且均为一次”的形式。在题型一中，角相同但函数名称不同，即属于“同角异名”，所以可以考虑用辅助角公式进行恒等变换。
即y=asinx+bcosx+c=√(a^2+b^2)sin(x+φ)+c，其中tanφ=b/a。然后根据x的取值范围求出x+φ的范围，从而求出sin(x+φ)的范围，最后再求出y的值域。
题型二：y=a(sinx)^2+bsinx+c
题型二还包括以下三种形式：y=a(sinx)^2+bcosx+c、y=a(cosx)^2+bcosx+c、y=a(cosx)^2+bsinx+c。这类题型不可能化为“同角同名且一次”的形式，我们只能退而求其次，先化为“同角同名”的形式，然后再用换元法进行处理，这样就转化为了二次函数。比如标题中的形式，我们令sinx=t，-1≤t≤1，则y=at^2+bt+c。
最后，我们利用二次函数的性质即可求出原函数的值域。不过，需要特别提醒的是，要注意换元后的字母的取值范围。
题型三：y=a(sinx+cosx)+bsinxcosx+c
这类题型我们直接用换元法求解。即令sinx+cosx=t，此时-√2≤t≤√2，再将两边同时平方，得到(sinx)^2+2sinxcosx+(cosx)^2=t^2，即1+2sinxcosx=t^2，所以sincosx=(t^2-1)/2。代入原式，即可转化为y=at+b(t^2-1)/2+c，这样就转化为了一个关于t的二次函数，然后用二次函数的方法求解即可。
另外，这类题型也可以是y=a(sinx-cosx)+bsinxcosx+c的形式，解题方法完全一样。
上面是三种求三角函数值域的常见题型，很明显这道高考真题是属于第二种题型，所以我们可以用换元法求解。由于题干中已经是同角同名的形式了，所以我们只需要直接换元即可，即令cosx=t，-1≤t≤1，则y=t^2-3t+2=(t-3/2)^2-1/4，所以二次函数在[-1,1]上为减函数，故当t=1时，函数取得最大值，代入后得到最大值为0，所以选B。
这道题就和大家分享到这里，你学会了吗？
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