2008年山东高考数学压轴题，难度太大，全班学生无人得满分

大家好！本文和大家分享一下这道2008年山东高考理科数学压轴题。这道题综合考查了等差数列的判定、抛物线的标准方程、抛物线的简单几何性质、直线与抛物线的位置关系以及点的对称等知识，难度确实很大，全班学生没有一人得到满分。

先看第一小问：等差数列的判定。

要证明A、M、B三点的横坐标成等差数列，只需要证明点M的横坐标的2倍等于点A和点B的横坐标之和即可。

因为点A、B在抛物线上，所以可设A(s,s^2/2p)、B(t,t^2/2p)。又点M在直线y=-2p上，所以可设M(m,-2p)。由抛物线方程可以得到：y'=x/p，这样就可以求出直线MA、MB的斜率，从而可以用点斜式求出直线MA、MB的方程分别为：y+2p=s(x-m)/p、y+2p=t(x-m)/p。然后把点A、B的坐标代入直线MA、MB的方程，再两式相减爱你整理就可以得到：2m=s+t，结论得证。

再看第二小问：求抛物线的标准方程。

题干中已知|AB|的长，所以需要用到弦长公式。根据弦长公式，需要算出点A、B的横坐标之和与积以及直线AB的斜率。一般的算法是，联立直线AB与抛物线方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，用韦达定理即可求出点A、B横坐标之和与积。这个方法没得问题，但是计算太复杂，所以本文分享一种更加简单的方法。

由于点M(2,-2p)，所以m=2，代入①、②中，整理可得：s^2-4s-4p^2=0，t^2-4t-4p^2=0，所以s、t是方程x^2-4x-4p^2=0，从而由韦达定理可得s+t=4，st=-4p^2。

由点A、B的坐标可以求出直线AB的斜率为2/p，然后代入弦长公式，即可求出p=1或p=2，从而得到抛物线的标准方程。

最后看第三小问：存在性问题。

先设D(u,v)，然后根据对称的性质求出点D的坐标，然后代入抛物线方程进行验证。

由向量OC=向量OA+向量OB，可以得到C(s+t,yA+yB)，这样就可以表示出线段CD的中点坐标。

由(2)可知直线AB的斜率为m/p，所以直线AB的方程为y-yA=m(x-s)/p。因为CD的中点在直线AB上，所以将CD中点坐标代入直线AB的方程，即可以得到一个关系式。

另外，直线CD与直线AB垂直，则两直线的斜率之积为-1，可以得到另一个关系式，从而求出点D的坐标。但是，这个方法计算量太大，下面分享一个更简单的方法。

很明显，AB中点也在直线AB上，将AB中点坐标代入直线AB的方程，再联立前面的关系式，从而得到v=mu/p。因为点D在抛物线上，从而可以得到点D的坐标。然后再分类讨论，从而得到符合条件的点M的坐标。

这道题的难度确实比较大，你会做吗？