2005年江苏高考数学真题，绝对值函数，学生正确率不到5％

大家好！本文和大家分享一道2005年江苏高考数学真题。2005年江苏高考数学试卷包括第一卷和第二卷两部分，第一卷也就是第一大题，为选择题，共12道小题，这与全国卷的设置是一样的。第二卷包括第二大题和第三大题，第二大题为填空题，共6道小题，比全国卷多了2道；第三大题为解答题，共5道小题，比全国卷少2道。

整体来看，2005年江苏高考数学试卷共有23道小题，这与全国卷的题量是一致的，本题是那套试卷的第22题。本题考查的是绝对值函数，即使现在让高三学生来做，正确率也不到5％，可见这道题的难度还是比较大的。接下来我们就一起来看一下这道题。

先看第一问：求满足条件的x的集合，实际上也就是解下面这个方程：x^2|x-2|=x。

对于绝对值方程来说，一般的思路就是先去掉绝对值符号，再求解。去绝对值符号一般采用“零点分段”法进行分类讨论。

本问中，当x＜2时，原方程应为x^2(2-x)=x，解得x=0或x=1；当x≥2时，原方程应为x^2(x-2)=x，解得x=1+√2。这样就求出了x的集合。

再看第二问：求函数的最值。

我们通常用函数的单调性求解函数最值问题，但是首先还是需要先去掉绝对值符号。由于x在[1,2]上，所以可以将a分为a≤1、1＜a≤2、a＞2三种情况进行讨论。

①当a≤1时，|x-a|=x-a，此时f(x)=x^3-ax^2，求导得到f'(x)=3x^2-2ax=3x(x-2a/3)。因为a≤1，所以2a/3≤2/3，所以f'(x)在[1,2]上大于零，即f(x)在[1,2]为增函数。故f(x)的最小值为f(1)。

②当1＜a≤2时，由于f(x)=x^2|x-a|≥0且f(a)=0，所以f(x)的最小值为0。

③当a＞2时，在[1,2]上有f(x)=ax^2-x^3，所以f'(x)=2ax-3x^2=3x(2a/3-x)。接着讨论f'(x)的正负，而由于x在[1,2]上，也必然有3x＞0，所以f'(x)的正负取决于2a/3-x的正负。

当a≥3时，2a/3-x≥0，则f'(x)≥0，所以f(x)在[1,2]为增函数，此时f(x)的最小值为f(1)。

当2＜a＜3时，1＜2a/3＜2，所以f(x)在(1,2a/3)上为增函数，在(2a/3,2)上为减函数，即此时f(x)的最小值为f(1)或者f(2)。

接下来只需要讨论f(1)和f(2)中哪个值更小即可求出此时f(x)的最小值。

本题的第一问难度不大，难的是第二问，特别是很多同学不知道该怎么进行分类讨论。你觉得这道题难吗？