印度大婶的地板画艺术1：Kolam传统艺术中的数学

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

印度南部的一种图画传统表达了数学思想，并引起了计算机科学的注意

在印度东南部泰米尔纳德邦，妇女每天早上清扫门庭，用牛粪水洒在门庭上，然后用米粉在门庭上绘制精致、对称的图案。他们用中指和食指夹住米粉，用拇指引导米粉的流动。根据传统，牛粪可以清洁地面，而使用米粉则是为蚂蚁和其他昆虫提供食物，以此来开始一天的善举。女孩从她们的女性亲戚那里学习这种kolam传统，kolam技能被视为优雅的标志，也是灵巧、精神纪律和集中能力的表现。在泰米尔纳德邦的房屋门庭上，每天都有各种各样的kolam设计，从多个角度吸引了人们的注意。除了它们在泰米尔文化中的意义之外，它们还是在文化环境中表达数学思想的一个不寻常的例子。此外，近年来，kolam图案吸引了对使用图片语言分析和描述图像感兴趣的计算机科学家的注意。

我自己的研究重点是探索数学思想的不同表达方式和文化背景。作为对现代数学历史发展的补充，这些研究关注那些没有被视为数学主流的口头传统和文化。作为一个指导性的定义，我认为数学思想是那些涉及数字、逻辑、空间配置，以及更重要的，将这些思想组织成系统和结构的思想。特别值得关注的是，人们自己将这些思想视为重要的知识，需要仔细学习并小心翼翼地传承下去的情况。

以相互排斥的语言社区为标准，在过去的700年里至少有6000种不同的文化存在。要寻找属于口头传统的数学思想，往往需要从数学角度重新审视人类学家、考古学家、语言学家和文化历史学家的工作和材料。数学思想的许多文化背景包括记录、日历制作、建筑、装饰、导航、亲属组织、绘图、占卜和宗教。从本质上讲，时间和空间的概念以及自然、超自然和社会世界的秩序都可能涉及数学思想。例如，印加人开发了一种涉及数字逻辑系统的记录方法，使用彩色结绳的阵列；在马绍尔群岛人民的导航传统中，用椰子纤维捆绑的棕榈肋骨制成的二维结构作为他们对波浪和陆地的相互作用的概念的平面表示；马达加斯加的占卜依赖于使用涉及双值逻辑的复杂代数算法布置种子的阵列。

Kolam传统与我所研究的其他案例不同的是，它直接促进了一项学术工作。复杂的图案进入了计算机科学领域。这些图案为说明分析和描述图片的已知方法提供了材料，也激发了新的方法。这使得kolam传统成为一个罕见且特别有趣的案例。

Kolam图案

泰米尔纳德邦的kolam传统延续了数百年，在城市和农村地区的妇女中仍然是一种普遍做法，无论是受过大学教育的妇女还是受教育程度较低的妇女都是如此。最近几年，女性经常用市面上可以买到的石粉、粉笔或墨水代替大米来创作这些设计，从泰米尔纳德邦移民过来的女性通常会在新家继续这种做法。

图1。在泰米尔纳德邦，母亲教女儿如何绘制装饰门庭的kolam图案。学习画kolam图案是女孩成长过程中的一个重要部分，已经有几百年的历史了。近几十年来，这一传统吸引了对使用图片语言分析和描述图片感兴趣的计算机科学家的注意。作者长期以来一直在研究跨文化数学思想的表达，他描述了kolam传统是如何对现代计算机科学做出贡献的。

每天在门庭上放置图案是泰米尔文化的一个重要组成部分。装饰过的图案是内部世界和外部世界的分界线，图案既可以守护家庭，又可以欢迎来访者。妇女们教女孩们一系列的图案和绘制程序，以及哪些图案适合于日常使用，哪些图案适合于特殊场合或特定仪式和节日。学习kolam传统是女孩成长过程中的一个重要部分。尽管绘制kolam图案是一种从母亲传给女儿的口头传统，但它是一种在识字文化内的口头传统。事实上，泰米尔人有书面文字和大量的文学作品，最早可以追溯到公元前三或四世纪。然而，泰米尔文学作品只是顺便提到了kolam传统，包括很少的细节。不过，这些文献还是证明了这一传统的长久性和普遍性。例如，已知最早的参考文献之一，即16世纪的著作，讲述了一个和平且繁荣的王国，其中 "老虎和牛在同一个地方喝水，婆罗门诵读吠陀经，妇女用kolam装饰街道，雨水如期而至，饥饿的人得到食物"。

在印度泰米尔纳德邦以外的部分地区，也有类似的绘画传统，其中有muggu、rangoli和alpana。虽然这些传统可能是有历史联系的，但这些图形是不同的，因为它们的含义和绘制它们的程序也是不同的。最近，一些传统已经扩展到包括其他传统的各个方面；因此，有时它们的术语可以互换使用。在这篇文章中，我只考虑传统形式的kolam设计，即只由白线组成的图形，或由白线和点组成的图形，有时被认为类似于网、迷宫或金银丝。

因为这种做法是随着泰米尔纳德邦移民而来的，例如，在19世纪末从泰米尔纳德邦移民到斯里兰卡的茶园工人中，以及那些移民到美国的人中，可以找到kolam的传统。这一传统与泰米尔纳德邦人民的价值观、仪式和哲学深深交织在一起，成为泰米尔文化的标志。例如，这可以从选择Kolam作为致力于泰米尔研究的国际学术期刊的标题中看出。

许多但不是所有的kolam绘图都是从放置点网格开始的。除了其他排列之外，这些点可以形成矩形、三角形或六边形阵列，或者从中心点辐射。然后通过连接点或围绕点画出图形，点既引导又约束图形。对于一些kolam，可能以点的网格开始，也可能不以点的网格开始，重要的是用一条连续的线画出每个图形，从它开始的地方结束。这些封闭的、连续的图案，以及由一些这样的封闭线组成的其他图案，与生、育、死的永无止境的循环，与连续性、整体性和永恒性的概念相关联。

图2. kolam图案在风格上差异很大。所有这些例子都是从一个点的网格开始的；图案a、b和c是把点连接起来，而d、e和f则是曲线则围绕着点。妇女画的图案c、e和f是封闭的连续曲线。观察者注意到，d不是连续画的，尽管它可以用一条封闭的曲线来画。注意图案中不同种类的对称----围绕水平中心线的对称，围绕垂直中心线的对称和围绕中心点45度（c）、90度（d）和180度（e）的旋转对称。

观察发现，一些可以画成闭合连续曲线的图形实际上并不是在一次连续扫掠中画出来的。例如，图3说明了一种这样的情况；kolam是使用基本单位的系统变换绘制的。该图将基本单位重复四次，每个单位相对于前一个单位旋转90度。最后，另一条连续的闭合曲线围绕着这四个单元。总体而言，kolam图案显示了对于对称性的关注。图形显示出围绕水平线、垂直线或各种旋转对称的对称性。

图3。许多但不是所有的kolam绘画都是从创建一个点的网格开始的，这个网格预示了图形(a)的最终大小和形状。女孩们学习规定的方法来画许多图形。为了绘制图2d中所示的单元，一个基本单元被绘制4次，其中每个单元相对于它之前的单元旋转90度(b，c，d)，并且一条连续的曲线最终将四个单元包围在内部(e)。

一些kolam图案构成了系列；也就是说，有一些具有共同特征的图组。在某些情况下，一个系列中较大的图案是由较小的图案的几个副本组成的；在其他情况下，系列成员是以更微妙的方式相互衍生的。Kolam图形系列的概念和组织似乎特别能表达数学思想。

图片语言

归类为系列的kolam图形特别吸引了理论计算机科学家的兴趣。理论计算机科学家关注的是通过使用图片语言来分析和描述图片，图片语言使用基本单元的集合和具体的正式规则来组合这些单元。对图片语言的研究类似于形式语言理论，它始于大约45年前诺姆·乔姆斯基（Noam Chomsky）对自然语言的研究。在随后的几十年里，计算机科学家们将形式语言理论用于分析和规范编程语言。

来自泰米尔纳德邦Madras基督教学院的Gift Siromoney，首次将kolam设计用于图片语言的研究。1989年，为了纪念他的一生，人们出版了一卷文献，其中列出了Gift Siromoney出版的大约100本著作，这些著作展示了他一生中将自己的学术兴趣与对泰米尔纳德邦环境、历史和文化的深切关注结合在一起的多种方式。Gift Siromoney和他的妻子以及其他计算机科学家,特别是Kamala Krithivasan和k . g . Subra manian, kolam设计成为一个丰富的数据,可以作为一些现有类型的语言和图片的例子也作为刺激的创建新类型的语言。除了Madras小组，其他计算机科学家也使用图片语言来描述kolam系列。

在这里，我将描述用于制作一些kolam系列的图片语言。作为开胃菜，让我们看看一个产生符号串的初级形式语言的例子，然后看看这样的符号串如何被翻译成图片。假设我们的语言中的符号被限制为A、B、C，并且起始字符串是ABAA。我们从以前的字符串中创建一个新的符号串的规则是：

B->AC, A->B, C->CC.

我们把对前一个字符串应用这些改写规则而产生的字符串称为结果。因此，如果开始的字符串是ABAA，第一个结果就是BACBB，第二个结果就是ACBCCACAC，第三个结果就是BCCACCCBCCBCC。改写规则可以继续产生肯定的结果。在每个阶段，三个规则同时应用（也就是平行应用）而不是顺序应用，因此，例如，在某个阶段通过应用规则B->AC引入的A和C一直到后面的阶段都没有被修改。这是林登迈尔语言的特点，或称L语言，它以对植物生长建模感兴趣的生物学家阿里斯蒂德-林登迈尔（Aristid Lindenmayer）命名。在我们的例子中，该语言是一种上下文无关、确定性的L-语言。它是无语境的，因为每个符号的命运都是单独处理的，不参考相邻的符号；它是确定性的，因为每个符号只有一个可能的重写规则。

现在的问题是如何从一个符号串中创建一幅图片。Przemsylaw Prusinkiewicz在L系统的计算机图形学应用方面特别引人注目，他开发了使用解释为“海龟命令”的符号的技术。海龟图形是Seymour Papert在20世纪60年代的想法；他构思这种语言主要是为了通过使用计算机培养儿童的想象力。这个想法是:乌龟可以通过拖动它的尾巴来画出一个图像。或者它可以抬起它的尾巴，创造一个不连续的图画。乌龟没有整体视角，但它可以通过理解和执行一组有限的命令来创造复杂的图画，这些命令是由一组符号传达给它的。这些命令包括

F：在画线的同时向前移动一步。

f: 在不画线的情况下向前移动一步。

+: 左转（逆时针），角度为d。

-: 右转（顺时针），角度为d。

每幅画都必须从指定乌龟的方向和角度d开始，这在整幅画中保持不变。每一步都从上一步结束的地方和方向开始。例如，具有海龟解释的上下文无关、确定性的L语言可以重现Kolam图的Snake系列(图5)。连续绘制，并在开始的地方结束，蛇形kolam与许多其他kolam的不同之处在于，在它的绘制之前没有圆点。海龟对它的解释使用了直线，并产生了设计的角度版本，尽管结合数学数据拟合技术可以生成平滑的曲线。在任何情况下，描述角蛇的语言首先将d定义为45度，并以B--F--B--F作为起始字符串。海龟总是解释为表示F+F+F--F--F+F+F，生成更复杂的Snake图形的重写规则是B->B+F+B--F--B+F+B。图5显示了B、起始字符串以及第一和第二个结果的图形表示。重写规则的连续应用导致设计呈指数增长。展示的最复杂的蛇形kolam是第三种结果的平滑版本。如果我们减小海龟每次出来的脚步的大小，这样连续的图画就可以放在一个相同大小的正方形中，如果我们无限期地继续下去，我们将得到一个令人惊讶的结果，即所谓的谢尔宾斯基曲线，它是以1912年描述它的数学家的名字命名的，这种填充空间的自回避分形被称为谢尔宾斯基曲线。

图5.图片语言可以创建名为Snake的kolam类型的角度版本。最小的图案显示起始字符串B--F--B--F，其中F表示向前移动一步，-表示顺时针移动45度，+表示逆时针移动45度，表示F+F+F--F--F+F+F。应用重写规则B->B+F+B--F--B+F+B会生成更复杂版本的Snake kolam。第一个结果是(B+F+B--F--B+F+B)--F--(B+F+B--F--B+F+B)--F。每次应用重写规则都会将四臂十字架中的每个臂替换为新的四臂十字架，从而导致数字从4臂到16臂再到64臂呈指数级增长，以此类推。

一种无上下文的确定性L语言也被用来描述另一个Kolam系列：克里希纳的脚链。与蛇形系列一样，克里希纳的脚链系列的成员是相互递归的，并以指数形式增长。Madras小组的计算机科学家们通过使用他们所谓的 "kolam "动作来绘制平滑的曲线和循环，而不是使用线性乌龟动作，从而避免了产生有角度的kolam图形。Madras小组根据泰米尔妇女对其动作的描述，定义了七个kolam动作。绘制克里希纳的脚链只需要其中的三个动作：

F：向前移动，同时画一条线。

R1: 向前移动，同时向右转半圈。

R2: 向前移动，同时向右做一个完整的循环。

一种能产生克里希纳的脚链的语言，从开始的字符串R1FR2FR2FR1开始，并有以下重写规则。R1->R1FR2FR1和R2->R1FR2FR2FR1（图6）。就像蛇形图案一样，每次应用改写规则都会用一个新的四臂十字架替换四臂十字架中的每一个臂，越来越复杂的克里希纳的小脚板图案是通过用一组四叶子替换每个小叶子而产生的。有几个kolam系列以类似的方式成长。

图6. 一种图画语言使用起始字符串R1FR2FR2FR2FR1和规定每个符号的含义以及如何改写字符串中的符号以创造越来越复杂的结果的框内规则，在克里希纳的脚链系列中创造了kolam图。改写规则的每一次应用都会将每张小册子替换成一组四张小册子。

数组语言

我所描述的图片语言可以表达一些图形系列，但是它们忽略了大多数kolam图形开头的点阵。泰米尔纳德邦妇女在画kolam之前布置的点阵预示着每个图案的最终大小和形状。或者，换句话说，女性在完成绘画之前，会用这些点来创造图案的二维骨架结构。Kolam传统的这一值得注意的方面促使Madras团队致力于数组语法，它处理符号的二维数组而不是符号串。从符号数组开始，数组语言的重写规则用其他子数组替换子数组。但他们必须解决的一个反复出现的问题是，新引入的子阵可能在形状或大小上与它们所替换的子阵不同，从而在新阵列中造成形状扭曲。在被称为Siromoney矩阵语法的数组语法中，可以表示图形单元的简单变换。例如，这可以应用于图2a中的kolam系列的生成。同样的单位在水平方向复制了两次，垂直方向复制了一次。用另一种kolam来说，基本单位可以在重复时反映出来。另一种类型的语法“kolam array语法”处理图形的生成，其中图形的长度和宽度具有固定的关系。Madras小组的重要贡献在于它们推广了一些基本的字符串运算，以便将它们应用于矩形数组和六角形数组。在1986年的一篇文章中，Rani Siromoney提供了Madras小组在数组语法方面的广泛工作的全面讨论和参考书目；在这篇文章中，她描述了该小组追求的各个方面，以及他们的工作如何与其他人的工作相关。他们的大部分工作涉及他们提出的语言类型的形式性质，而他们的一些著作则将这些语言应用于kolam系列。

Madras小组使用两种不同的方法对数组语言生成的符号数组进行图形化解释。一种方法将矩形阵列中的符号解释为连续的图形单元。图形单元的特定集合因语言而异，因为它们依赖于数组语言描述的kolam系列。要创建kolam系列的各种成员，生成连续数组的规则必须捕获给定系列中单元的固有组织。从符号数组生成图片的第二种方法更接近泰米尔纳德邦妇女用来画kolam的程序。其中，数组中的符号可以被认为是点，而是携带指导图形绘制的指令的点。数组中的点类型及其指令因语言的不同而不同；同样，它们特定于数组描述的kolam系列。要创建kolam系列成员，用于生成连续数组的规则必须捕获指令点的图案化组织。图7和图8显示了这两种不同的方法如何生成山顶kolam图案。

图7. 不同的数组语言可以创造出山顶系列的kolam图，其增长速度是多项式增长而不是指数增长。在一种语言中，所产生的矩形数组中的符号被解释为连续的图形单元。在右边，图形单元被叠加在一个符号阵列上。

图8. 另一种生成山顶kolam图系列成员的数组语言将数组中的符号解释为携带特定指令的圆点。

Kolam的算法性质

当计算机科学家试图用图片语言来捕捉kolam的图形时，他们强调了kolam图形的丰富性和它们的算法性质——换句话说，它们是以有秩序的、一步一步的方式建立的。这些语言不一定能复制泰米尔纳德邦的妇女如何构思和绘制kolam图。然而，它们强调了这样一个事实：kolam，特别是kolam的系列，不仅仅是单个图片的集合；系统的程序和技术使它们统一起来。

kolam传统也为计算机科学家提供了一个不寻常的机会。可能没有比将其应用于产生该结构的传统和文化之外的例子更好的方法来研究一个学术结构。但除此之外，计算机科学家们还试图从图案的制造者那里学习，并将他们所学到的东西整合到他们自己领域的理论和实践中。kolam传统历史的这一最近阶段展示了数学思想如何超越其传统界限，与学术努力互动，并在事实上为其作出贡献。

毋庸置疑，数学思想蕴含在kolam的传统中，它强调丰富的对称性、图案的重复性、封闭的连续曲线和曲线系列。印度妇女构思和绘制传统的kolam图形，并在其中引入变化，但它们仍然是代代相传的思想库的一部分。这些图案是泰米尔纳德邦文化环境的重要组成部分——文化中的每个人都能看到、认识和欣赏这些图案。kolam传统当然是全球持续不断的数学思想史的一部分，但最重要的是，它仍然是泰米尔纳德邦文化和日常景观的核心部分。

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16 Marcia Ascher, The Kolam Tradition.

青山不改，绿水长流，在下告退。

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