人永远追不上乌龟？在数学界，"1"的地位都可以被替代

人们通常所说的悖论，是指那些推理过程看起来没有问题，但结果却违背客观实际的问题。而在数学中，悖论是一个与数学发展有着千丝万缕联系的重要问题。公元前五世纪，古希腊埃利亚学派哲学家芝诺提出了一些悖论。

他曾在数学领域提出了一些违背常识的悖论，其中最为著名的是4 个关于运动的悖论。而今天所讲述的就是他的其中一个关于运动的悖论。

芝诺乌龟跑赢了人

阿基里斯悖论：是指阿基里斯（古希腊神话中擅长跑步的人）永远都追不上他前方爬的较慢的乌龟。这个问题一看便是不切实际的，一个擅长跑步，一个是速度极慢的乌龟，人怎么会跑不赢呢？

这是因为当阿基里斯要追上乌龟时，就首先要跑到未起跑时乌龟所在的位置，而当他跑到乌龟的起始位置时，不论阿基里斯的速度有多么快，乌龟在这段时间又向前跑了一段路程，如此循环下去，阿基里斯与乌龟的距离越来越近。

但是却永远无法追上乌龟。再详细的解释就是，假设阿基里斯以每小时1公里的速度跑步，乌龟以每小时0.1公里的速度跑，乌龟在阿基里斯前方1公里处，阿基里斯想要追上乌龟，就先要跑完两者之间的1公里。

但是如果阿基里斯跑完这相差的1公里时，乌龟却并不会原地不动，而是已在原来的 1 公里处向前爬行了0.1公里，阿基里斯就要再追赶乌龟到前方的0,1公里处，但乌龟还会再向前爬0.01公里.如此循环往复，以此类推，以至无穷，阿基里斯永远与乌龟相差0.000…1公里。

"芝诺时"的延伸

上述就是芝诺提出的悖论，他提出了名为"芝诺时"的度量时间。这种时间是一种循环重复的所需的时间，那么按照"芝诺时"来讲，阿基里斯永远追不上乌龟。这个问题的关键就在于"芝诺时"，它所包含的时间在循环中越来越少。

但这些越来越少的无穷个时间加起来是有限的，并不是无穷。这一问题还可以延伸为有限与无穷之间的问题，它们是否可以相互转化，而互相转化的条件是什么？比如相同的问题：1 和0.9的循环是否相等。

在阿基里斯悖论中，阿基里斯对乌龟的一次次追赶，逐渐将距离缩短，缩短至0.000…1公里，而其所花的时间也随之越来越短，最后变成了无穷小量。这些问题衍生出无穷小量与0的关系的问题。

如果无穷小量与数值0是等同的，则认为无穷小量就是 0，但是如果认为无穷小量不是 0，而是与0之间存在一个极小的不可度量的数，则阿基里斯与乌龟的比赛中，确实是无法追上乌龟的。

"1"的位置可以被0.999的无限循环替代吗？

就是这样一个看似无聊而又有点小儿科的问题，它曾被评为"最受欢迎的运动"。记得数与数怎么比大小吗？我们先比整数部分，如果整数部分不相等，那么无论小数点后有多少位都不影响他们之间的大小变化。

0.999的无限循环从第一轮的比较开始就注定会败给1。但是，众多数学家却都认可0.999的无限循环等于1是个数学事实。有一个众所周知的证明方法，=0.333…，即等于0.333的无限循环，而0.999的无限循环等于0.333的无限循环乘以3。

那么就是说，乘以3等于0.999的无限循环，而乘以3等于1，所以0.999的无限循环等于1 ，是可以被替代的。不过，仔细看一看，这好像只是玩了一个小把戏，真的能够完全说服众人0.999的无限循环等于1吗？

实际上，这个问题与芝诺乌龟十分相似，上面不过是文字游戏，要想真正论述0.999的无限循环等于1 这个问题，必须使用实数的构造和功能化。

无穷小量引爆"第二次数学危机"

很多人会想，在0.999的无限循环与1之间一定存在着一个很小的0.000…1，所以他们不可能相等。存在这样一个数，我们把它叫做无穷小量，可就是这个东西引爆了"第二次数学危机"。

我们都知道17世纪，牛顿和莱布尼茨几乎同时发明了一种数学工具——微积分，但当时的它存在着一个严重的漏洞，他们引进了一个无限接近于0的数，无穷小量。而在具体的微积分计算中，将无穷小量作为除数是经常惯用的方法。

但0是不能够被当做除数的。于是，数学体系再一次遭到了颠覆性的挑战，也开始了"第二次数学危机"。直到19世纪柯西等一众数学家，用极限的思想重新定义了微积分，将无穷小量彻底"杀掉"，才平息了这场危机。

就是这套不存在无穷小量的体系，被称作标准实分析体系，也就是大众一直学习的数学框架，所以0.999的循环与1之间不存在这样一个无穷小量，找不到任何一个数可以插在它们之间，于是，被证明二者是严格相等的。

不过，如果使用不同的数学框架呢？德国数学家亚伯拉罕鲁滨逊，提出了一种名叫"非标准实数分析"的框架，他对实数进行了补充，无穷小量得以"重出江湖"。根号二带来了"第一次数学危机"，无穷小带来了"第二次数学危机"。而每一次危机之后，我们对数学的认知都在不断地被扩充，这或许就是数学的趣味所在。

悖论推动了数学的发展演化

数学历来被视为严格又精准的学科。纵观数学发展史，其发展从来不是一路顺遂的，它的体系不是完全稳固的，而常常在发展中出现悖论。而悖论在数学理论中的发展是值得任何人去重视的一件事。

因为它直接导致了对于相应理论的怀疑，而产生的无限怀疑很有可能毁灭数学的发展史。许多数学家为消除这些怀疑，为每一次数学危机作了很多贡献与努力，这些努力促进了关于数学新问题的研究及数学本身的发展。

在每一次解决出现的数学悖论时，这都是一个对数学局限性的重新认识，而解决数学悖论的过程则为数学的发展创造了不可估量的价值。