每日算法：全排列问题

作者： sisterAn 来源： 三分钟学前端

给定一个 没有重复 数字的序列，返回其所有可能的全排列。

示例:

• 输入: [1,2,3]
  输出:
  [
  [1,2,3],
  [1,3,2],
  [2,1,3],
  [2,3,1],
  [3,1,2],
  [3,2,1]
  ]

本题是回溯算法的经典应用场景

1. 算法策略

回溯算法是一种搜索法，试探法，它会在每一步做出选择，一旦发现这个选择无法得到期望结果，就回溯回去，重新做出选择。深度优先搜索利用的就是回溯算法思想。

2. 适用场景

回溯算法很简单，它就是不断尝试，直到拿到解。它的这种算法思想，使它通常用于解决广度的搜索问题，即从一组可能的解中，选择一个满足要求的解。

3. 代码实现

我们可以写一下，数组 [1, 2, 3] 的全排列有：

先写以 1 开头的全排列，它们是：[1, 2, 3], [1, 3, 2]，即 1 + [2, 3] 的全排列;

再写以 2 开头的全排列，它们是：[2, 1, 3], [2, 3, 1]，即 2 + [1, 3] 的全排列;

最后写以 3 开头的全排列，它们是：[3, 1, 2], [3, 2, 1]，即 3 + [1, 2] 的全排列。

即回溯的处理思想，有点类似枚举搜索。我们枚举所有的解，找到满足期望的解。为了有规律地枚举所有可能的解，避免遗漏和重复，我们把问题求解的过程分为多个阶段。每个阶段，我们都会面对一个岔路口，我们先随意选一条路走，当发现这条路走不通的时候(不符合期望的解)，就回退到上一个岔路口，另选一种走法继续走。

这显然是一个 递归 结构;

• 递归的终止条件是：一个排列中的数字已经选够了 ，因此我们需要一个变量来表示当前程序递归到第几层，我们把这个变量叫做 depth ，或者命名为 index ，表示当前要确定的是某个全排列中下标为 index 的那个数是多少;
• used(object)：用于把表示一个数是否被选中，如果这个数字(num)被选择这设置为 used[num] = true ，这样在考虑下一个位置的时候，就能够以 O(1)的时间复杂度判断这个数是否被选择过，这是一种「以空间换时间」的思想。

• let permute = function(nums) {
  // 使用一个数组保存所有可能的全排列
  let res = []
  if (nums.length === 0) {
  return res
  }
  let used = {}, path = []
  dfs(nums, nums.length, 0, path, used, res)
  return res
  }
  let dfs = function(nums, len, depth, path, used, res) {
  // 所有数都填完了
  if (depth === len) {
  res.push([...path])
  return
  }
  for (let i = 0; i < len; i++) {
  if (!used[i]) {
  // 动态维护数组
  path.push(nums[i])
  used[i] = true
  // 继续递归填下一个数
  dfs(nums, len, depth + 1, path, used, res)
  // 撤销操作
  used[i] = false
  path.pop()
  }
  }
  }

4. 复杂度分析

时间复杂度：O(n?n!)，其中 n 为序列的长度

这是一个排列组合，每层的排列组合数为：Amn=n!/(n?m)! ，故而所有的排列有 ：

A1n + A2n + … + An-1n = n!/(n?1)! + n!/(n?2)! + … + n! = n! * (1/(n?1)! + 1/(n?2)! + … + 1) <= n! * (1 + 1/2 + 1/4 + … + 1/2n-1) < 2 * n!

并且每个内部循环 n 次，故非叶子结点的时间复杂度为 O(n?n!)

• 空间复杂度：O(n)

leetcode：https://leetcode-cn.com/problems/permutations/solution/quan-pai-lie-wen-ti-by-user7746o/