初中数学铅垂高法及其变形在二次函数求面积中的妙用(原理真题)

一、什么是铅垂高法？

过△ABC的三个顶点分别作与水平线垂直的三条直线，垂足为M、E、N。MN的长度就叫做△ABC的“水平宽”，中间的这条垂线AE在△ABC内部线段的长度AD就△ABC的“铅垂高(h)”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：S△ABC＝1/2MN*AD，即三角形ABC面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。

用等积法推导铅垂高法

证明：如图，AD把△ABC分成两部分△ABD、△ADC

若以AD为底，则ME、NE分别为△ABD、△ADC的高

S△ABC = S△ABD+ S△ADC

= 1/2ME*AD + 1/2EN*AD

= 1/2MN*AD

即三角形ABC面积等于水平宽MN与铅垂高AD乘积的一半

二、铅垂高法变形1

变形1实际上就是把上面的图形进行了180度翻转，证明同上。实际做题的过程需要做与x轴平行的直线或者直接投影到x轴上。

三、铅垂高法变形2

有时如果C是动点，直线BC不好确定，而直线BA容易确定。如果我们过A作x轴的垂线，交BC于D的话，D点就不易确定，那么我们就不能直接利用上面两种方法解题，此时我们可以过C点作CN垂直于x轴或与x轴平行的直线。

证明：如图，过B点作BM⊥MN于点M，过点A作AE⊥MN于点E，过点C作CN⊥MN于点N，交BA的延长线于点D。若以CD为底，则MN、NE分别为△BDC、△ADC的高。

∴S△ABC = S△BDC- S△ADC

= 1/2*CD*MN -1/2CD*EN

= 1/2*CD*(MN - EN)

= 1/2*CD*ME

即三角形ABC面积等于水平宽MN与铅垂高CD乘积的一半

实际上铅锤高法还有其他一些变形，比如我们通常把“水平宽”映射在x轴上，有时根据需要也可以映射在y轴上。只要我们熟练掌握，灵活应用，很多题目都可以化繁为简，下面我们举几个例子来进行进一步学习：

四、例题解析

例1、铅垂高法正常情形

例2、铅垂高法变形1

二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．．

（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；

（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；

（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．

例3、铅垂高法变形2

如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），交y轴正半轴于点C，M为BC中点，点P为抛物线上一动点，已知点A坐标（﹣1，0），且OB＝2OC＝4OA．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当△PCM ≌△POM时，求PM的长；

（3）当4S△ABC＝5S△BCP时，求点P的坐标．

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